Estensione trascendente

In matematica, più in particolare nella teoria dei campi, un'estensione trascendente (o ampliamento trascendente) è un'estensione di campi che non è algebrica, ovvero un'estensione $F\subseteq K$ tale che nel campo $K$ esiste almeno un elemento α trascendente su $F,$ ovvero che non è radice di alcun polinomio a coefficienti in $F.$

Un esempio tipico di estensione trascendente è $F\subseteq F(X)$, dove $F(X)$ è il campo delle funzioni razionali a coefficienti in $F;$ altri esempi sono le estensioni $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ e $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {C}$.

Indipendenza algebrica e grado di trascendenza

Poiché un elemento $\alpha$ trascendente su $F$ non è soluzione di alcun polinomio a coefficienti in $F,$ il grado dell'estensione $F\subseteq F(\alpha )$ è infinito; di conseguenza, il grado di qualsiasi estensione trascendente è infinito, e questo strumento non può essere usato per studiarle. Al suo posto si introduce la nozione di grado di trascendenza, ottenuto sostituendo al concetto di indipendenza lineare quello di indipendenza algebrica: un insieme $S$ si dice algebricamente indipendente su un campo $F$ se non esiste alcun polinomio non nullo $P$ in più variabili tale che $P(s_{1},\ldots ,s_{n})=0$ per elementi $s_{1},\ldots ,s_{n}$ in $S.$ Analogamente alla definizione di base in algebra lineare si ha la definizione di base di trascendenza di un ampliamento $F\subseteq K$: è un sottoinsieme $T$ di $K$ tale che $T$ è algebricamente indipendente su $F$ e $K$ è algebrico su $F(T).$

Questo parallelismo tra l'algebra lineare e le estensioni trascendenti non si limita alle definizioni, ma si estende anche a molte delle proprietà delle basi: ogni ampliamento trascendente possiede una base di trascendenza (anche se per dimostrarlo è necessario assumere il lemma di Zorn) e ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti può essere completato ad una base di trascendenza aggiungendovi altri elementi. In particolare, due basi di trascendenza devono avere la stessa cardinalità: questa è detta grado di trascendenza di $K$ su $F,$ ed è analoga alla nozione di dimensione di uno spazio vettoriale.

Dalla definizione segue immediatamente che se $F\subseteq K\subseteq L$ ed $L$ è algebrico su $K,$ allora $K$ ed $L$ hanno lo stesso grado di trascendenza su $F;$ in particolare, un'estensione algebrica ha grado di trascendenza $0$.

A differenza del grado dell'estensione, che è moltiplicativo (cioè se $F\subseteq K\subseteq L$ allora $[L:F]=[K:F]\cdot [L:K]$), il grado di trascendenza è additivo, cioè il grado di trascendenza di $L$ su $F$ è uguale alla somma dei gradi di trascendenza di $K$ su $F$ e di $L$ su $K.$

Estensioni puramente trascendenti

Un'estensione generata da elementi algebricamente indipendenti è detta puramente trascendente. Un ampliamento puramente trascendente di $F$ è isomorfo ad un campo $F(X)$ di funzioni razionali, dove $X$ indica un insieme di indeterminate indipendenti; il suo grado di trascendenza è dato dalla cardinalità di $X$, ovvero dal numero di indeterminate. Ad esempio, l'ampliamento $F\subseteq F(X)$ è puramente trascendente con grado di trascendenza $1$, e $F\subseteq F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ha grado $n$.

Non tutte le estensioni trascendenti $F\subseteq K$ sono puramente trascendenti. Questo è vero nel caso in cui $K$ sia un ampliamento intermedio tra $F$ e $F(X)$ (teorema di Lüroth; in particolare $K$ è un'estensione semplice di $F$), ma non per più alti gradi di trascendenza; nel caso in cui $F\subseteq K\subseteq F(X,Y)$, il risultato è ancora valido se si suppone che $F$ sia algebricamente chiuso e $F(X,Y)$ è un ampliamento finito e separabile di $K.$

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.