Punto isolato

In topologia generale, un punto isolato per un insieme $S$ è un punto che non ha altri punti di $S$ "vicini".

Definizione

Un punto $x_{0}$ appartenente ad un sottoinsieme $S$ in uno spazio topologico è un punto isolato di $S$ se esiste un intorno di $x_{0}$ non contenente altri punti di $S$.

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), $x_{0}$ è un punto isolato di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x_{0}$ che non contiene nessun elemento di $S$ diverso da $x_{0}$.

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto $x_{0}$ di $S$ non è un punto isolato se e solo se $x_{0}$ è un punto di accumulazione per $S$.

Insieme discreto

Un insieme $S$ costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e $S$ è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di $\mathbb {N}$ è isolato in $\mathbb {N}$ infatti: Sia $n_{0}\in \mathbb {N} \$ e sia $I(n_{0},r)$ un intorno di $n_{0}$ e di raggio $r$.
Allora dalla definizione abbiamo che $n_{0}\in \mathbb {N} \$ è un punto isolato in $\mathbb {N} \ \Leftrightarrow \ \exists \ r\in \mathbb {R} \ :I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing$.
Poiché per $r={\frac {1}{2}}$ risulta che $I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing$, deduciamo che $n_{0}$ è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

• Per l'insieme $S=\{0\}\cup [1,2]$, il punto $0$ è un punto isolato.

• Per l'insieme $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\ldots \}$, ciascun punto $1/k$ è un punto isolato, tranne il punto $0$ che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme $S$ vicini a $0$ quanto desiderato.

• L'insieme $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ dei numeri naturali è un insieme discreto.

• L'insieme chiuso $[a,b]$ è un insieme perfetto.

Voci correlate

• Punto di accumulazione
• Insieme chiuso
• Frontiera (topologia)