Similitudine (geometria)

La similitudine è una trasformazione geometrica, del piano o dello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. In altre parole, una trasformazione $f$ del piano (o dello spazio) in sé è una similitudine se e solo se esiste un numero reale positivo $k$ tale che:

Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.

$d(f(A),f(B))=k\cdot d(A,B)$

per ogni coppia di punti $(A,B).$

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".

Esempi

Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti $P$ e $Q$ sono simili, si scrive generalmente

$P\sim Q.$

Geometria affine

In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità

$f(x)=Ax+b.$

In questa notazione $x$ indica un generico punto del piano $(x_{1},x_{2})$, mentre $A$ è una matrice 2x2

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$

e $b$ è un vettore colonna fissato $(b_{1},b_{2})$. Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici.

Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:

$a_{11}^{2}+a_{21}^{2}=a_{12}^{2}+a_{22}^{2}=|a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|=|\det A|\neq 0.$

Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti $a_{ij}$ siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:

• $a_{11}=a_{22}\wedge a_{12}=-a_{21}$, oppure
• $a_{11}=-a_{22}\wedge a_{12}=a_{21}$.

Nel primo caso, il determinante di $A$ è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice diretta. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice inversa.

Poligoni

Misurazioni tramite il calcolo di poligoni primi (stampa del 1607)

Triangoli simili

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:

1. Due triangoli sono simili se e solo se hanno ordinatamente tre angoli congruenti.
   • Corollario 1. Due triangoli equilateri sono simili.
   • Corollario 2. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
   • Corollario 3. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
2. Due triangoli $ABC$ e $DEF$ aventi: due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente
   • ${AB \over DE}={BC \over EF}$
   • gli angoli in $B$ e in $E$ sono uguali,
   sono simili.
   • Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
3. Due triangoli $ABC$ e $DEF$aventi: i lati proporzionali

   ${\frac {AB}{DE}}={\frac {AC}{DF}}={\frac {BC}{EF}}$

   sono simili.

Poligoni simili

Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.

In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere

• due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
• due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
• tre angoli consecutivi.

Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.

Numeri complessi e figure auto-similari

Numeri complessi

Il triangolo di Sierpiński è un frattale.

Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo

$z\mapsto az+b$

oppure

$z\mapsto a{\bar {z}}+b,$

dove $a$ e $b$ sono due numeri complessi, e ${\bar {z}}$ è il complesso coniugato di $z.$

Frattali

Un frattale è un oggetto geometrico autosimilare: ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.

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Collegamenti esterni

• (EN) similarity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Similitudine / Similitudine (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.