Singolarità isolata

In matematica, e più precisamente in analisi complessa, una singolarità isolata è un punto in cui una funzione olomorfa non è definita mentre risulta definita in ogni altro punto vicino. La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente tre tipi di comportamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta eliminabile, polo o essenziale.

Definizione

Sia $z_{0}$ un punto contenuto in un insieme aperto $A$ del piano complesso. Una funzione

f:A\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}

ha una singolarità isolata in $z_{0}$ se esiste un intorno $U$ di $z_{0}$ per cui la funzione è olomorfa in $U\setminus \{z_{0}\}$ . Quindi la funzione non è definita in $z_{0}$ , mentre in ogni altro punto sufficientemente vicino è definita e differenziabile in senso complesso.

Sviluppo in serie di Laurent

La funzione $f$ ammette uno sviluppo come serie di Laurent nel punto $z_{0}$ . La funzione è quindi scrivibile in un intorno del punto come serie

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.

Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della $f$ vicino al punto di singolarità $z_{0}$ . Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo $|f(z)|$ vicino al punto.

Si noti che la tipologia di singolarità non è univocamente determinata dalla serie di Laurent locale se essa ha raggio di convergenza positivo.

Singolarità eliminabile

La singolarità $z_{0}$ è eliminabile se esiste il limite

\lim _{z\to z_{0}}f(z)=L\in \mathbb {C} .

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

I termini negativi della serie di Laurent sono tutti nulli, cioè $a_{n}=0$ per ogni $n<0$ .
Il modulo $|f(z)|$ è limitato in un intorno di $z_{0}$ ,
La funzione si estende ad una funzione continua su tutto $A$ ,
La funzione si estende ad una funzione olomorfa su tutto $A$ .

Esempio: la funzione $f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}$ presenta una singolarità eliminabile in $z=0$ .

Polo

La singolarità $z_{0}$ è un polo se esiste un numero intero positivo $n$ tale che esista il limite

\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{n}\cdot f(z)=L\in \mathbb {C} ,

con $L\neq 0$ . Il numero $n$ è l'ordine o molteplicità del polo. Un polo di ordine 1 è detto semplice.

Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste $n<0$ tale che $a_{n}\neq 0$ e $a_{k}=0$ per ogni $k<n$ .
Il modulo $|f(z)|$ tende a $+\infty$ se $z$ tende a $z_{0}$ .
La funzione $g(z)=1/f(z)$ è definita in un intorno di $z_{0}$ ed ha una singolarità eliminabile in $z_{0}$ .

Esempio: la funzione $f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}$ presenta un polo di ordine 2 ( $n=2$ ), detto anche polo doppio, in $z=1$ .

Singolarità essenziale

Una singolarità essenziale è una singolarità che non rientra nei casi precedenti, cioè che non sia né una singolarità eliminabile né un polo. Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:

Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni $n_{0}<0$ esiste un $n<n_{0}$ con $a_{n}\neq 0$ .
Il modulo $|f(z)|$ non ha limite per $z$ tendente a $z_{0}$

Esempio: la funzione $f(z)={\frac {e^{\frac {1}{z}}}{z^{3}}}$ presenta una singolarità essenziale in $z=0$ .

Esempi

Ogni funzione

f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}

scritta come rapporto di due polinomi è definita nell'aperto $A$ ottenuto rimuovendo da $\mathbb {C}$ le radici $z_{1},\ldots ,z_{k}$ di $q$ . Se queste non sono anche radici di $p$ , in ogni $z_{i}$ la funzione ha un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice.

La funzione

f(z)=e^{\frac {1}{z}}

definita su $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ha una singolarità essenziale in $0$ . Infatti lo sviluppo di Laurent è

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\,z^{-n}}{n!}}

che ha infiniti termini negativi non nulli.

Anche il fatto che la funzione $|f(z)|=|e^{\frac {1}{z}}|$ non ammetta limite (finito o infinito) per $z$ che tende a 0 è sufficiente per dimostrare l'essenzialità della singolarità.

Proprietà

Traslazione della serie di Laurent

Sia $k$ un numero intero. Moltiplicando la funzione $f(z)$ per $(z-z_{0})^{k}$ , i coefficienti della serie di Laurent centrata in $z_{0}$ vengono traslati di $k$ posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di $k$ ). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.

Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per $(z-z_{0})^{k}$ .

Singolarità essenziale

Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il Teorema di Casorati-Weierstrass, l'immagine $f(U)$ di ogni intorno aperto $U$ di $z_{0}$ è un aperto denso del piano complesso. Il teorema di Picard afferma di più: $f(U)$ è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.

Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso $\lambda$ esiste una successione di punti $z_{i}\to z_{0}$ convergenti a $z_{0}$ tali che $f(z_{i})\to \lambda$ . In altre parole, la funzione intorno a $z_{0}$ "converge a qualsiasi cosa".

Singolarità all'infinito

Per una funzione intera

f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}

(o più in generale una funzione olomorfa definita sul complementare di un compatto di $\mathbb {C}$ ) è possibile parlare di singolarità all'infinito. Questa è la singolarità in $0$ della funzione

g:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}

definita come $g(z)=f(1/z)$ . In particolare, la singolarità all'infinito può essere eliminabile, un polo o essenziale. Si può studiare una singolarità all'infinito di una funzione $f(z)$ cambiando la variabile:

z={\frac {1}{\eta }}

allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione $g(\eta )=f({\frac {1}{z}})$ nel punto $\eta =0$ .

Il Teorema di Liouville dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) isolated singularity, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Singolarità isolata, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Singolarità isolata, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Controllo di autorità	GND (DE) 4123453-4

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