Struttura di spin

In matematica, e in particolare in geometria differenziale, una struttura di spin definita su una varietà riemanniana orientabile (M, g) consente di definire i fibrati spinoriali associati, dando origine alla nozione di campo spinoriale.

Le strutture di spin hanno ampie applicazioni in fisica matematica, in particolare nella teoria quantistica dei campi in cui sono un ingrediente essenziale nella definizione di qualsiasi teoria con fermioni privi di carica. Sono anche di interesse puramente matematico in geometria differenziale, topologia algebrica e K-teoria. Costituiscono le basi per la geometria di spin.

Introduzione

In geometria differenziale e nella teoria dei campi, i matematici si chiedono se su una determinata varietà riemanniana orientata (M,g) sia possibile definire dei campi spinoriali. Un metodo per affrontare questo problema è richiedere che M abbia una struttura di spin^[1]^[2]^[3]. Ciò non è sempre possibile poiché esiste potenzialmente una ostruzione topologica all'esistenza di strutture di spin. Le strutture di spin esistono se e solo se la seconda classe di Stiefel-Whitney w₂(M) ∈ H²(M, Z₂) di M si annulla. Inoltre, se w₂(M) = 0, allora sull'insieme delle classi di isomorfismo delle strutture di spin su M agisce liberamente e transitivamente H¹(M, Z₂). Poiché si presume che la varietà M sia orientata, anche la prima classe di Stiefel–Whitney w₁(M) ∈ H¹(M, Z₂) di M risulta nulla. (Le classi di Stiefel–Whitney w_i(M) ∈ Hⁱ(M, Z₂) di una varietà differenziabile M sono definite come le classi Stiefel–Whitney del suo fibrato tangente TM.)

Il fibrato spinoriale π_S: S → M su M è quindi definito come il fibrato vettoriale (complesso) associato al corrispondente fibrato principale π_P: P → M dei riferimenti spinoriali su M attraverso una rappresentazione del suo gruppo di struttura Spin(n) sullo spazio di spinori Δ_n. Il fibrato S è detto fibrato di spinori per una data struttura di spin definita sulla varietà di base M.

Una definizione precisa di struttura di spin su una varietà differenziabile fu resa possibile solo dopo l'introduzione della nozione di fibrato; André Haefliger (1956) scoprì per primo l'ostruzione topologica all'esistenza di una struttura di spin su una varietà riemanniana orientabile e Max Karoubi (1968) estese questo risultato al caso di una varietà pseudo-riemanniana non orientabile^[4]^[5].

Struttura di spin su una varietà riemanniana

Definizione

Una struttura di spin su una varietà riemanniana orientabile (M,g) è un rivestimento equivariante del fibrato dei riferimenti lineari orientati F_SO(M) → M associato al rivestimento a due fogli ρ: Spin(n) → SO(n). In altre parole, una coppia (P,F_P) è una struttura di spin sul fibrato principale π: F_SO(M) → M se vale

a) π_P: P → M è un fibrato principale su M e gruppo di struttura Spin(n),

b) F_P: P → F_SO(M) è un rivestimento a due fogli tale che

\pi \circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }

e F_P(p q) = F_P(p)ρ(q) per ogni p ∈ P e q ∈ Spin(n).

Il fibrato principale π_P: P → M è anche detto fibrato dei riferimenti spinoriali su M.

Due strutture di spin (P₁, F_P₁) e (P₂, F_P₂) definite su una medesima varietà riemanniana orientata (M,g) si dicono equivalenti se esiste una applicazione differenziabile Spin(n)-equivariante f: P₁ → P₂ tale che

F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}

and f(p q) = f(p)q per ogni

{\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}

e q ∈ Spin(n).

Ovviamente, in questo caso $F_{\mathbf {P} _{1}}$ e $F_{\mathbf {P} _{2}}$ sono due rivestimenti a due fogli del SO(n)-fibrato dei riferimenti lineari orientati F_SO(M) → M della varietà riemanniana (M,g) assegnata.

Questa definizione di struttura di spin sulla varietà (M,g) intesa come struttura di spin sul fibrato principale F_SO(M) → M si deve al matematico André Haefliger (1956).

Ostruzione

André Haefliger ha trovato le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di una struttura di spin su una varietà riemanniana orientata (M,g). L'ostruzione ad avere una struttura di spin è un certo elemento [k] di H²(M, Z₂) . Per una struttura di spin la classe [k] è la seconda classe di Stiefel-Whitney w₂(M) ∈ H²(M, Z₂) di M. Quindi, una struttura di spin esiste se e solo se la seconda classe di Stiefel-Whitney w₂(M) ∈ H²(M, Z₂) di M è nulla.

Note

^ (FR) A. Haefliger, Sur l'extension du groupe structural d'un espace fibré, in C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 243, 1956, pp. 558–560.
^ (EN) J. Milnor, Spin structures on manifolds, in L'Enseignement Mathématique, vol. 9, 1963, pp. 198–203.
^ (FR) A. Lichnerowicz, Champs spinoriels et propagateurs en rélativité générale, in Bull. Soc. Math. Fr., vol. 92, 1964, pp. 11–100, DOI:10.24033/bsmf.1604.
^ (FR) M. Karoubi, Algèbres de Clifford et K-théorie, in Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., vol. 1, n. 2, 1968, pp. 161–270, DOI:10.24033/asens.1163.
^ (EN) H. R. Alagia e C. U. Sánchez, Spin structures on pseudo-Riemannian manifolds (PDF), in Revista de la Unión Matemática Argentina, vol. 32, 1985, pp. 64–78.

Bibliografia

(EN) H. Blaine Lawson e Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry, Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5.
(EN) Thomas Friedrich, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
(EN) Max Karoubi, K-Theory, Springer, 2008, pp. 212–214, ISBN 978-3-540-79889-7.
(EN) Werner Greub e Herbert-Rainer Petry, On the lifting of structure groups, in Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics II, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 1978, pp. 217–246, ISBN 9783540357216.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Something on Spin Structures by Sven-S. Porst is a short introduction to orientation and spin structures for mathematics students.

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[1] (FR) A. Haefliger, Sur l'extension du groupe structural d'un espace fibré, in C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 243, 1956, pp. 558–560.

[2] (EN) J. Milnor, Spin structures on manifolds, in L'Enseignement Mathématique, vol. 9, 1963, pp. 198–203.

[3] (FR) A. Lichnerowicz, Champs spinoriels et propagateurs en rélativité générale, in Bull. Soc. Math. Fr., vol. 92, 1964, pp. 11–100, DOI:10.24033/bsmf.1604.

[4] (FR) M. Karoubi, Algèbres de Clifford et K-théorie, in Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., vol. 1, n. 2, 1968, pp. 161–270, DOI:10.24033/asens.1163.

[5] (EN) H. R. Alagia e C. U. Sánchez, Spin structures on pseudo-Riemannian manifolds (PDF), in Revista de la Unión Matemática Argentina, vol. 32, 1985, pp. 64–78.

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