Successione complessa
In matematica, una successione complessa è una successione composta da numeri o funzioni complesse.
Successione numerica
modificaUna successione numerica complessa è una successione di infiniti termini complessi:
Si dice che una successione complessa ha limite se per ogni esiste , con , tale per cui:
quando . Si scrive:
Geometricamente questo significa che, per valori sufficientemente grandi di n, i punti si trovano tutti all'interno di un intorno circolare di centro e raggio .
Supposto che i termini della successione siano e il limite sia , allora si ha:
se e solo se:
cioè se la parte reale ed immaginaria dei termini della successione tendono singolarmente alla parte reale ed immaginaria del limite.
Infatti, quando e quando le due successioni reali soddisfano rispettivamente:
ed è sufficiente scegliere il più grande degli indici affinché valgano entrambi i limiti. Allora, secondo la definizione:
quando . Viceversa, se per si ha:
allora si ha anche:
Successioni di funzioni
modificaSia una successione di funzioni complesse su un dominio del piano complesso. Si dice che converge puntualmente alla funzione in se:
Si dice che converge uniformemente alla funzione in se:
Si vede facilmente che se si verifica:
allora rispettivamente puntualmente e uniformemente se e solo se e rispettivamente puntualmente e uniformemente .
Criterio di Cauchy
modificaIl criterio di Cauchy sulle successioni di funzioni complesse uniformemente convergenti afferma che se e solo se esiste un numero tale che:
e tale che per ogni esiste un indice tale per cui:
Bibliografia
modifica- (EN) John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag, 1986
- (EN) Jerold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987
- (EN) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer Verlag, 1991