Teorema dei residui
In analisi complessa, il teorema dei residui è uno strumento per calcolare gli integrali di contorno di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.
Enunciato
modificaSia un insieme aperto del piano complesso . Siano punti di singolarità della funzione in . Sia inoltre una curva semplice chiusa in tale che sia contenuto nel sottoinsieme limitato di delimitato da .
Se è una funzione olomorfa su , allora l'integrale della funzione su è dato dalla:
dove denota il residuo di in , e è l'indice di avvolgimento della curva attorno a .
L'indice di avvolgimento è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva si avvolge attorno ad ; esso è positivo se gira in senso antiorario attorno a e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.
Dimostrazione
modificaSi consideri il dominio all'interno della curva . Si considerino multiplamente connesso, dove sono le curve che circondano i punti di singolarità percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:
ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo -esimo, per cui:
Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.
Somma dei residui
modificaNel caso in cui sia il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.
Sia
una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti è sempre zero. In altre parole:
dove è il residuo all'infinito di .
Lemmi
modificaPer risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema dei residui, su MathWorld, Wolfram Research.