Valore p

In statistica inferenziale, in particolare nei test di verifica d'ipotesi, il valore p, o p-dei-dati^[1] (dall'inglese p-value),^[2] o anche livello di significatività osservato,^[3] è la probabilità, per una ipotesi supposta vera (detta ipotesi nulla), di ottenere risultati ugualmente o meno compatibili di quelli osservati durante il test, con la suddetta ipotesi.^[4]^[5] In altri termini, il valore p aiuta a capire se la differenza tra il risultato osservato e quello ipotizzato è dovuta alla casualità introdotta dal campionamento, oppure se tale differenza è statisticamente significativa, cioè difficilmente spiegabile mediante la casualità dovuta al campionamento. L'utilizzo del valore p nei test di ipotesi è comune in molti campi di ricerca^[6] come fisica, economia, finanza, scienze politiche, psicologia,^[7] biologia, criminologia e sociologia.^[8]

Livello di significatività

La coordinata verticale è la densità di probabilità di ciascun risultato, calcolata supponendo vera l'ipotesi nulla. Il valore p è l'area sottesa dalla curva a partire dal dato osservato.

Quando si effettua un test d'ipotesi si fissa un'ipotesi nulla e un valore soglia α (per convenzione di solito 0,05) che indica il livello di significatività del test. Calcolato il p-value relativo ai dati osservati è possibile comportarsi come segue:

se valore p > α l'evidenza empirica non è sufficientemente contraria all'ipotesi nulla che quindi non può essere rifiutata;
se valore p ≤ α l'evidenza empirica è fortemente contraria all'ipotesi nulla che quindi va rifiutata. In tal caso si dice che i dati osservati sono statisticamente significativi.

Tuttavia se valore p ≈ α, cioè è vicino al valore soglia, è necessaria attenzione. Il valore p viene utilizzato per fornire maggiori informazioni su un test rispetto all'accettazione o al rifiuto per un certo livello di significatività. Per questo le analisi statistiche devono sempre riportare il valore del p-value osservato permettendo ai lettori di trarre le proprie conclusioni.

Per condurre un test statistico è importante fissare il livello di significatività (indicato di solito con la lettera greca α, alfa) prima di calcolare il valore p. Se il valore p venisse calcolato per primo, lo sperimentatore saprebbe quali valori per quel livello di significatività conducono ad accettare o rigettare l'ipotesi nulla, e potrebbe scegliere il livello in funzione del risultato desiderato.

Definizione

Sia $H$ l'ipotesi che il valore $x$ dei dati osservati sia estratto da una certa variabile aleatoria $X$ nota. Il p-value è definito come la probabilità, supposta l'ipotesi $H$ , di ottenere un risultato (dai dati osservati) uguale o "più estremo" di quello effettivamente osservato. Cosa si intende con "più estremo" precisamente, dipende dal tipo di test che si intende effettuare. Se il test è bilaterale allora i risultati più estremi sono i valori di $X$ per cui $\{X\leq x\}$ oppure $\{X\geq x\}$ . Se il test è unilaterale destro allora i risultati più estremi sono i valori di $X$ per cui $\{X\geq x\}$ . Se il test è unilaterale sinistro allora i risultati più estremi sono i valori di $X$ per cui $\{X\leq x\}$ . Quindi il p-value è dato da:

$Pr(X\geq x\mid H)$ per test unilaterali destri;
$Pr(X\leq x\mid H)$ per test unilaterali sinistri;
$2\min\{Pr(X\leq x\mid H),Pr(X\geq x\mid H)\}$ per test bilaterali.

Più il valore del p-value è piccolo, più è grande la significatività poiché il risultato ci dice che l'ipotesi $H$ considerata non spiega adeguatamente i dati osservati, cioè è poco credibile che il valore osservato sia stato effettivamente estratto dalla variabile aleatoria $X$ .

Esempio

Sia, ad esempio, 0,03 il valore p di un test. Il test condotto con un livello di significatività di 0,05 induce allora a rifiutare l'ipotesi nulla, mentre lo stesso test condotto con un rischio di errore di 0,02 induce a non rifiutare l'ipotesi nulla. La conclusione "il valore p è 0,03" contiene più informazioni delle sole "ipotesi rifiutata con significatività 0,05" o "non rifiutata con significatività 0,02".

Errori comuni

Ci sono diversi errori comuni riguardanti l'uso del p-value.

Il p-value non è la probabilità che l'ipotesi nulla sia vera o la probabilità che l'ipotesi nulla sia falsa. Non è connesso con nessuna delle due.
Il p-value non è la probabilità che un'osservazione sia un caso. Il calcolo del p-value è basato sull'ipotesi che ogni osservazione è un caso, un risultato aleatorio. Con la frase "il risultato è dovuto al caso" si intende di solito che l'ipotesi nulla è probabilmente corretta, ma ricordiamo che il p-value non può essere usato per rappresentare la probabilità che un'ipotesi sia vera.
Il p-value non è la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando questa è vera.
Il p-value non è la probabilità che replicando l'esperimento si otterrebbe la stessa conclusione. Per quantificare la replicabilità di un esperimento è stato introdotto il concetto di p-rep.
Il livello di significatività α non è determinato dal p-value. Il livello di significatività è deciso dalla persona che conduce l'esperimento prima di vedere i dati.

Note

^ Ross (2015), pp. 310-311.
^ p-value in "Enciclopedia della Matematica", su treccani.it. URL consultato il 24 marzo 2022.
^ TEST DI SIGNIFICATIVITA', su web.archive.org, 27 luglio 2017. URL consultato il 24 marzo 2022 (archiviato dall'url originale il 27 luglio 2017).
^ Christie Aschwanden, Not Even Scientists Can Easily Explain P-values, su FiveThirtyEight, 24 novembre 2015. URL consultato l'11 ottobre 2019 (archiviato dall'url originale il 25 settembre 2019).
^ Ronald L. Wasserstein e Nicole A. Lazar, The ASA's Statement on p-Values: Context, Process, and Purpose, in The American Statistician, vol. 70, n. 2, 7 marzo 2016, pp. 129–133, DOI:10.1080/00031305.2016.1154108.
^ Bhaskar Bhattacharya e DeSale Habtzghi, Median of the p value under the alternative hypothesis, in The American Statistician, vol. 56, n. 3, 2002, pp. 202–6, DOI:10.1198/000313002146.
^ R. Wetzels, D. Matzke, M. D. Lee, J. N. Rouder, G. J. Iverson e E. -J. Wagenmakers, Statistical Evidence in Experimental Psychology: An Empirical Comparison Using 855 t Tests, in Perspectives on Psychological Science, vol. 6, n. 3, 2011, pp. 291–298, DOI:10.1177/1745691611406923, PMID 26168519.
^ E. Babble, The practice of social research, 11ª ed., Belmont, Thomson Wadsworth, 2007.