Algebra elementare

L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come $a+b=b+a$ per ogni $a$ e $b$ ), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero $x$ tale che $3\cdot x+2=10$ );
consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono $x$ biglietti, allora il profitto sarà $10x-5$ euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono $a+3$ e $x^{2}-3$ .

Un'equazione è una proposizione aperta, contenente un'uguaglianza, che può essere vera o falsa in funzione del valore attribuito alle variabili incognite in essa presenti. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle incognite (per esempio $a+(b+c)=(a+b)+c$ ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza, cioè rendono il primo membro uguale al secondo: $x^{2}-1=4$ . Essi sono detti soluzioni dell'equazione.

Esempi di equazioni

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

2x+3=10.

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della $x$ . Nell'esempio precedente, se si sottrae 3 da entrambi i membri, si ottiene

2x=7

e dividendo entrambi i membri per 2, si ottiene la soluzione

x={\frac {7}{2}}.

Equazioni come

x^{2}+3x=5

sono note come equazioni quadratiche e per esse esiste una semplice formula risolutiva per trovare tutte le soluzioni.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

(x-1)^{2}=0y.

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che $x=1,$ ma non possiamo dedurre quale sia il valore di $y.$ Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite $x$ e $y,$ avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

{\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

{\begin{cases}4x+2y=14\\4x-2y=2\end{cases}}

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per 2 (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

8x=16.

In questo modo abbiamo ottenuto un'equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo $x=2.$

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

4x+2y=14.

Sostituiamo 2 al posto di $x$ :

4(2)+2y=14.

Semplifichiamo

8+2y=14,

2y=6.

E risolviamo per $y,$ ottenendo 3. La soluzione di questo sistema di equazioni è $x=2$ e $y=3,$ ossia la coppia $(2,3).$

Leggi di algebra elementare (su un campo)

L'addizione è un'operazione commutativa.
- La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
- Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:

a-b=a+(-b).

La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
- La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
- Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

{a \over b}=a\left({1 \over b}\right).

Se $ab=0,$ allora $a=0$ o $b=0$ (legge di annullamento del prodotto).
L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
- L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
  - Esempi: se $3^{x}=10$ allora $x=\log _{3}10$ . Se $x^{2}=10,$ allora $x=10^{1/2}$ .
- La radice quadrata di -1 è i.
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: $c(a+b)=ca+cb$ .
La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: $(ab)^{c}=a^{c}b^{c}$ .
Come combinare gli esponenti: $a^{b}a^{c}=a^{b+c}.$
Se $a=b$ e $b=c,$ allora $a=c$ (proprietà transitiva dell'uguaglianza).^[1]
$a=a$ (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
Se $a=b,$ allora $b=a$ (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
Se $a=b$ e $c=d,$ allora $a+c=b+d$ .
- Se $a=b,$ allora $a+c=b+c$ per ogni $c,$ per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se $a=b$ e $c=d,$ allora $ac$ = $bd$ .
- Se $a=b,$ allora $ac=bc$ per ogni $c$ per via della riflessività dell'uguaglianza.
Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
Se $a>b$ e $b>c,$ allora $a>c$ (transitività della disuguaglianza).
Se $a>b,$ allora $a+c>b+c$ per ogni $c.$
Se $a>b$ e $c>0,$ allora $ac>bc$ .
Se $a>b$ e $c<0,$ allora $ac<bc$ .