Algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Anello graduato

Un anello graduato $A$ è un anello tale che esista una famiglia $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ di sottogruppi abeliani additivi di $(A,+)$ che decompongano $A$ in una somma diretta:

$A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

$x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r},$

ossia

$A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r},$

per tutti gli indici $r,s\in \mathbb {N}$.

Gli elementi $A_{n}$ sono noti come elementi omogenei di grado $n$. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento $a\in A$ ammette una decomposizione unica come somma:

$a=\sum _{n}a_{n},$

dove $a_{n}\in A_{n}$ per tutti gli $n\in \mathbb {N}$; gli elementi $a_{n}$ sono talvolta chiamati parti omogenee di $a$.

Un sottoinsieme ${\mathfrak {a}}\subset A$ è omogeneo se per ogni elemento $a\in {\mathfrak {a}}$, le parti omogenee di $a$ sono anche contenute in ${\mathfrak {a}}.$

Se $I$ è un ideale omogeneo di $A,$ allora $A/I$ è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

$A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.$

Algebra graduata

Un'algebra $A$ su un anello $R$ è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello $R$ sia anche un anello graduato, allora si richiede che:

1. $A_{i}R_{j}\subset A_{i+j},$
2. $R_{i}A_{j}\subset A_{i+j}.$

Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove $R$ è graduato in modo banale (ogni elemento di $R$ è di grado zero).

Bibliografia

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra supercommutativa
• Anello commutativo
• Ideale (matematica)
• Superalgebra
• Superalgebra di Poincaré

Collegamenti esterni

• (EN) A Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Joseph D. Lykken, 1996.
• (EN) An Introduction to Supersymmetry, Manuel Drees, 1996.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Adel Bilal, 2001.
• (EN) An Introduction to Global Supersymmetry (PDF). URL consultato il 17 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 15 gennaio 2013), Philip Arygres, 2001.
• (EN) Weak Scale Supersymmetry (archiviato dall'url originale il 4 dicembre 2012), Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
• (EN) Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). New g−2 measurement deviates further from Standard Model (archiviato dall'url originale il 26 gennaio 2017).
• (EN) Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). Fermilab's CDF scientists have discovered the quick-change behavior of the B-sub-s meson..