Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una algebra $\mathbb {Z} _{2}$ -graduata) in cui vale una proprietà di commutazione che dipende dalla gradazione degli elementi.

Definizione

Una superalgebra $A$ è un'algebra supercommutativa se per ogni coppia $x,y\in A$ di elementi omogenei si ha:

yx=(-1)^{|x||y|}xy,

dove con $|x|$ e $|y|$ si indicano le gradazioni rispettivamente di $x$ e $y.$ In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

è sempre nullo.

La gradazione $|x|$ vale 0 per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari, vale invece 1 per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari^[1].

Ogni algebra commutativa (ossia ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè se tutti gli elementi sono pari). Le algebre di Grassmann sono i più comuni esempi di algebre supercommutative banali. Il supercentro di qualsiasi superalgebra^[2] è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa^[3].

Note

^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
^ Vedere centro di un gruppo
^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001).

Bibliografia

Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
(EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
(EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

Portale Fisica

Portale Matematica

[1] Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985

[2] Vedere centro di un gruppo

[3] Kac, Martinez & Zelmanov (2001).

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