Anello locale regolare

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello locale regolare è un anello commutativo unitario locale noetheriano tale che il numero di generatori del suo ideale massimale è uguale alla sua dimensione di Krull. Un anello noetheriano è regolare se ogni sua localizzazione $A_{M}$ (dove $M$ è un suo ideale massimale) è un anello locale regolare.

Il termine "regolare" proviene dalla geometria algebrica: se $x$ è un punto di una varietà algebrica, chiedere che l'anello dei germi di funzioni nel punto sia un anello regolare è equivalente a chiedere che la dimensione dello spazio tangente alla varietà in $x$ sia uguale alla dimensione della varietà stessa; quando questo avviene, il punto è detto non singolare (o regolare).

Definizione ed esempi

Sia $A$ un anello commutativo unitario che sia locale e noetheriano di dimensione $n$ e $M$ il suo ideale massimale.

L'anello $A$ è regolare se $M$ può essere generato da $n$ elementi; equivalentemente (grazie al lemma di Nakayama) se la dimensione di $M/M^{2}$ come spazio vettoriale sul campo $A/M$ è uguale ad $n$. Un'altra caratterizzazione si ha attraverso strumenti omologici: $A$ è regolare se e solo se la sua dimensione globale è finita.

Ogni campo e ogni dominio di valutazione discreta sono anelli regolari; anche l'anello delle serie formali $K[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]$ su un campo $K$ è un anello regolare locale.

Il concetto di anello regolare locale può essere "globalizzato": un anello commutativo unitario noetheriano $A$ è regolare se per ogni ideale massimale $M$ la localizzazione $A_{M}$ è un anello regolare locale.

Proprietà

Gli anelli locali regolari hanno molte buone proprietà: sono infatti tutti domini d'integrità e domini a fattorizzazione unica. Gli anelli regolari non locali, tuttavia, perdono entrambe queste caratteristiche: ad esempio, i domini di Dedekind sono tutti anelli regolari, ma non sono tutti a fattorizzazione unica. La perdita dell'integrità può essere però in qualche modo controllata: ogni anello regolare, infatti, è il prodotto diretto di un numero finito di domini d'integrità regolari.

La regolarità è una proprietà molto stabile: se $A$ è regolare, ogni localizzazione $S^{-1}A$ è ancora regolare, così come l'anello di polinomi $A[X]$ e l'anello delle serie formali $A[[X]]$. La regolarità si preserva anche attraverso il completamento; inoltre, un anello locale regolare completo che contiene un campo $k$ è necessariamente isomorfo a $K[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]$ per un campo $K$ (che può essere diverso da $k$) e un intero $d$ (uguale alla sua dimensione).

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Gorenstein e di Cohen-Macaulay.

Bibliografia

• Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5.

Collegamenti esterni

• (EN) V.I. Danilov, Regular ring, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.}