Cuspide (poliedro)

In geometria, la cuspide di un poliedro indica la struttura locale del poliedro vicino ad un vertice. Più in generale, è possibile definire una nozione di cuspide per un vertice di un qualsiasi politopo a dimensione arbitraria (e quindi anche per un poligono). In italiano è spesso usata anche la versione inglese star.

In un tetraedro, i 4 vertici hanno la stessa struttura locale (cuspide).

Valenze

Anche nell'icosidodecaedro ogni vertice ha la stessa struttura locale.

Definizione

La valenza di un vertice di un poliedro è il numero di spigoli (o facce) adiacenti.

In un politopo di dimensione $n$ arbitraria, ogni vertice ha $n$ valenze $v_{1},\ldots ,v_{n}$: qui $v_{i}$ indica il numero di facce $i$-dimensionali adiacenti al vertice.

Proprietà

In una piramide a base quadrata invece c'è un vertice che ha valenza $4$, mentre gli altri quattro hanno valenza $3$.

Poiché vi è un unico politopo adiacente al vertice, l'ultimo valore è sempre $v_{n}=1$.

In un poligono, le valenze sono sempre $(v_{1},v_{2})=(2,1)$. In un poliedro, sono $(v_{1},v_{2},v_{3})=(v,v,1)$, dove $v$ è la valenza definita inizialmente.

A proposito di $v_{1}$, affinché la dimensione sia $n$, ci devono essere almeno $n$ spigoli adiacenti a ciascun vertice, e quindi $v_{1}\geq n$.

Base della cuspide

La struttura locale del poliedro vicino ad un vertice è codificata dall'intersezione del poliedro con una piccola sfera centrata nel vertice. Spigoli e facce del poliedro intersecano questa sfera in un poligono con spigoli curvi, con numero di vertici (o spigoli) pari alla valenza.

Tale intersezione, definita per i vertici di un politopo di dimensione arbitraria, è la base della cuspide, detta anche link.

Analogamente si può definire una base "dritta" prendendo su ogni spigolo un punto che disti dal vertice una lunghezza fissata piccola; collegando questi punti tramite segmenti si ottiene un poligono vero e proprio. Se questo è regolare il vertice è un vertice regolare.

Esempi

In un cubo, ogni vertice ha valenze $(3,3,1)$.

Poligoni

Ogni vertice di un poligono è adiacente a due spigoli, ed al poligono stesso. Quindi $v_{1}=2$ e $v_{2}=1$.

Nel quadrato, la base della cuspide di ciascuno dei quattro vertici è un arco nella circonferenza di ampiezza uguale a $\pi /2$ radianti (pari a 90°).

Poliedri

I solidi regolari hanno le stesse cuspidi ad ogni vertice (eventualmente ruotate nello spazio).

Nel cubo, vale $(v_{1},v_{2},v_{3})=(3,3,1)$.

Politopi

Nell'ipercubo, vale $(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=(4,6,4,1)$. La base della cuspide di ciascuno dei sedici vertici è un tetraedro sferico regolare.

In generale, in un cubo di dimensione $n$, il valore $v_{i}$ non dipende dal vertice ed è dato dal coefficiente binomiale

$v_{i}=\left({\begin{matrix}n\\i\end{matrix}}\right).$

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