Dominio di Krull

In matematica, un dominio di Krull è un dominio d'integrità che è intersezione di una famiglia localmente finita di domini di valutazione discreta. I domini di Krull sono, allo stesso tempo, una generalizzazione dei domini noetheriani integralmente chiusi (e, in particolare, dei domini di Dedekind) e dei domini a fattorizzazione unica.

Prendono il loro nome da Wolfgang Krull (1899 – 1971).

Definizione

Sia $A$ un anello commutativo unitario integro. $A$ è un dominio di Krull se esiste una famiglia $\{V_{i}\}_{i\in I}$ di domini di valutazione discreta (DVR) contenuti nel campo dei quozienti di $A$ tali che $A=\bigcap _{i\in I}V_{i}$ e, per ogni $a\in A$, esistono solo un numeri finito di $V_{i}$ tali che $a$ non è invertibile in $V_{i}$.

Equivalentemente, $A$ è un dominio di Krull se, per ogni ideale primo $P$ di altezza 1, la localizzazione $A_{P}$ è un DVR, $A$ è intersezione di queste localizzazioni e ogni elemento $a\in A$ è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1.

Proprietà

Essendo intersezione di anelli integralmente chiusi, ogni dominio di Krull è integralmente chiuso.

La proprietà di essere un dominio di Krull soddisfa alcune proprietà di stabilità: ogni localizzazione $S^{-1}A$ è ancora un dominio di Krull, così come la sua chiusura integrale in un'estensione finita del suo campo dei quozienti; analogamente, gli anelli dei polinomi $A[\mathbf {X} ]$ e delle serie formali $A[[\mathbf {X} ]]$ in un qualunque numero di indeterminate sono ancora domini di Krull (per ognuna delle tre definizioni di anello delle serie formali in infinite indeterminate). Al contrario, questa proprietà non è invariante rispetto al passaggio al quozienti: ad esempio, l'anello $K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})$ (dove $K$ è un campo) non è neppure integralmente chiuso.

L'intersezione di un numero finito o di un insieme localmente finito di domini di Krull è ancora un dominio di Krull, mentre l'intersezione di una famiglia arbitraria può non esserlo.

Legami con gli anelli noetheriani

Tutti i domini noetheriani integralmente chiusi sono domini di Krull: se, infatti, $P$ è un primo di altezza 1, la localizzazione $A_{P}$ è un dominio locale noetheriano integralmente chiuso di dimensione 1, e quindi è un DVR; inoltre, ogni $a\in A$ è contenuto in un numero finito di ideali primi d'altezza 1 (poiché l'anello $A/aA$ ha un numero finito di primi minimali). Viceversa, tutti i domini di Krull di dimensione 1 sono noetheriani, ovvero sono domini di Dedekind.

Diversi teoremi relativi agli anelli noetheriani si generalizzano ai domini di Krull, sebbene sia a volte necessario restringerne il campo d'applicazione. Ad esempio, i domini di Krull, come gli anelli noetheriani, verificano il teorema dell'ideale principale, mentre un teorema solo parzialmente valido è quello sull'esistenza della decomposizione primaria: se $I$ è un ideale di un dominio di Krull, $I$ può non essere decomponibile, ma lo è sicuramente se è principale.

Un altro legame naturale tra i domini noetheriani e i domini di Krull è dato dal teorema di Mori-Nagata, che afferma che la chiusura integrale di un dominio noetheriano nel suo campo dei quozienti (o, più in generale, in un'estensione finita del suo campo dei quozienti) è un dominio di Krull. Più in generale, la chiusura integrale di un anello noetheriano $A$ ridotto (ma non necessariamente integro) nel suo anello totale dei quozienti è il prodotto diretto di $r$ domini di Krull, dove $r$ è il numero dei primi minimali di $A$.

Proprietà di fattorizzazione

Tutti i domini di Krull sono atomici, ovvero ogni elemento può essere espresso come prodotto di elementi irriducibili.

Ogni dominio a fattorizzazione unica (UFD) è un dominio di Krull, in quanto i primi di altezza 1 di un UFD sono principali; viceversa, un dominio di Krull i cui primi di altezza 1 sono principali sono a fattorizzazione unica. Per "misurare" quanto un dominio di Krull è lontano dall'essere a fattorizzazione unica si può introdurre un gruppo, detto gruppo delle classi, che generalizza il concetto di gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.

Un ideale frazionario $I$ di un dominio di Krull $A$ con campo dei quozienti $K$ è divisoriale se $I=(A:(A:I))$, dove $(I:J):=\{x\in K\mid xJ\subseteq I\}$. L'insieme degli ideali divisoriali è un gruppo sotto l'operazione di moltiplicazione tra ideali, che è isomorfo al gruppo abeliano libero generato dagli ideali primi di altezza 1; in particolare, ogni ideale divisoriale $I$ ha una decomposizione primaria

$I=P_{1}^{(e_{1})}\cap \cdots \cap P_{n}^{(e_{n})}$

dove i $P_{i}$ sono ideali primi di altezza 1, gli $e_{i}$ sono interi positivi e $P_{i}^{(e_{i})}=P_{i}^{e_{i}}A_{P_{i}}\cap A$ è la $e_{i}$-esima potenza simbolica di $P_{i}$.

Il gruppo delle classi di $A$ è definito come il quoziente tra il gruppo degli ideali divisoriali e il sottogruppo degli ideali frazionari principali; esso si riduce al gruppo banale se e solo se $A$ è a fattorizzazione unica, ovvero se e solo se tutti gli ideali divisoriali sono principali. Se $A$ è un dominio di Dedekind, allora il gruppo delle classi di $A$ non è altro che il quoziente tra il gruppo degli ideali invertibili e il sottogruppo degli ideali frazionari principali.

Bibliografia

• Robert Gilmer, Multiplicative ideal theory, New York, Marcel Dekker Inc., 1972, ISBN 0824712420.
• Pierre Samuel, Lectures on Unique Factorization Domains (PDF), Bombay, Tata Institute Of Fundamental Research, 1964.
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986, ISBN 978-0521367646.
• Irena Swanson e Craig Huneke, Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-68860-4.

Collegamenti esterni

• (EN) V.I. Danilov, Krull ring, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.