Equazione di Nernst-Planck

In elettromeccanica l'equazione di Nernst descrive la diffusione delle particelle attraverso una membrana selettiva immersa in un mezzo elettrolitico. La densità di corrente è funzione di un potenziale elettromeccanico scalare:

${\vec {j}}=-k_{em}\nabla \phi _{em}$

Nell'ipotesi di linearità si possono sovrapporre la legge di Fick e la legge di Ohm:

${\vec {j}}=-D_{m}\nabla \phi _{m}-\mu \phi _{m}\nabla \phi _{e}$

dove $D_{m}$ è la diffusività massica della specie, $-\nabla \phi _{e}$ il campo elettrostatico espresso come gradiente del potenziale elettrico, e $\mu$ è la mobilità elettrica, rapporto tra conducibilità meccanica e carica elettrica totale delle particelle:

$\mu =qk_{m}$

se esprimiamo la diffusività massica secondo la relazione di Einstein-Smoluchowski:

$D_{m}=R\phi _{t}\mu$

dove R è la costante dei gas, φ_T è la temperatura assoluta, otteniamo:

${\vec {j}}=-R\phi _{t}\mu \nabla \phi _{m}-\mu \phi _{m}\nabla \phi _{e}$

Possiamo ora raccogliere rispetto all'operatore differenziale ottenendo l'Equazione di Nernst Planck:

${\vec {j}}=-{\frac {k\phi _{m}}{q}}\nabla (R\phi _{t}\ln \phi _{m}+\phi _{e})$,

che definisce un potenziale elettromeccanico: $\phi _{em}=R\phi _{t}\ln \phi _{m}+\phi _{e}$,

e una conducibilità elettromeccanica: $k_{em}={k_{m}\phi _{m} \over q}$.

Questa ha per definizione dimensione: $[k_{em}]=[L]^{-1}[T]^{-1}[A]^{-1}$

Voci correlate

• Legge di Fick
• Legge di Ohm