Sia
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
funzione olomorfa definita su un insieme
A
{\displaystyle A}
aperto del piano complesso
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
γ
{\displaystyle \gamma }
curva chiusa contenuta in
A
{\displaystyle A}
S
{\displaystyle S}
γ
{\displaystyle \gamma }
z
{\displaystyle z}
S
{\displaystyle S}
γ
{\displaystyle \gamma }
f
(
z
)
Ind
γ
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
.
{\displaystyle f(z){\text{Ind}}_{\gamma }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi .}
Consideriamo la funzione
F
(
ξ
)
=
f
(
ξ
)
−
f
(
z
)
ξ
−
z
,
{\displaystyle F(\xi )={\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}},}
la quale è olomorfa in
A
∖
{
z
}
{\displaystyle A\backslash \{z\}}
lim
ξ
→
z
(
ξ
−
z
)
F
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\xi \rightarrow z}(\xi -z)F(\xi )=0}
teorema integrale di Cauchy , si ha
∮
γ
F
(
ξ
)
d
ξ
=
0
,
{\displaystyle \oint _{\gamma }F(\xi )d\xi =0,}
In altre parole si ottiene che
f
(
z
)
∮
γ
1
ξ
−
z
d
ξ
=
∮
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
.
{\displaystyle f(z)\oint _{\gamma }{\frac {1}{\xi -z}}d\xi =\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi .}
Infine, dalla definizione di indice rispetto a una curva, si ottiene la tesi.
Dalla formula di Cauchy segue che ogni funzione olomorfa è derivabile infinite volte. Le derivate della funzione sono calcolabili tramite una formula analoga, valida nelle stesse ipotesi descritte sopra:
d
n
f
(
z
)
d
z
n
=
n
!
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f\left(z\right)}{\mathrm {d} z^{n}}}={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi }.}
Si consideri un incremento
Δ
z
{\displaystyle \Delta z}
(
z
+
Δ
z
)
∈
S
{\displaystyle (z+\Delta z)\in S}
f
(
z
+
Δ
z
)
−
f
(
z
)
=
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
−
Δ
z
d
ξ
−
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
=
Δ
z
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
d
ξ
(
ξ
−
z
)
(
ξ
−
z
−
Δ
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(z+\Delta z)-f(z)&=\\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z-\Delta z}}\mathrm {d} \xi -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi \\&={\frac {\Delta z}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )\mathrm {d} \xi }{(\xi -z)(\xi -z-\Delta z)}}.\end{aligned}}}
Quindi:
f
(
z
+
Δ
z
)
−
f
(
z
)
Δ
z
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
d
ξ
(
ξ
−
z
)
(
ξ
−
z
−
Δ
z
)
,
{\displaystyle {\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )\mathrm {d} \xi }{(\xi -z)(\xi -z-\Delta z)}},}
passando al limite per
Δ
z
→
0
{\displaystyle \Delta z\to 0}
f
′
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
2
d
ξ
.
{\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}\mathrm {d} \xi .}
Per ottenere questo risultato si poteva pensare di derivare direttamente sotto il segno di integrale, ma la giustificazione di questo approccio è contenuta nell'analisi precedente.
Ora però per calcolare le successive derivate si può derivare direttamente sotto il segno di integrale. Abbiamo già dimostrato che la formula di derivazione è vera per
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
{\displaystyle n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
d
n
+
1
f
(
z
)
d
z
n
+
1
=
=
d
d
z
[
d
n
f
(
z
)
d
z
n
]
=
d
d
z
[
n
!
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
]
=
n
!
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
d
d
z
[
1
(
ξ
−
z
)
n
+
1
]
d
ξ
=
n
!
(
n
+
1
)
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
(
n
+
1
)
+
1
d
ξ
=
(
n
+
1
)
!
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
(
n
+
1
)
+
1
d
ξ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(z)}{\mathrm {d} z^{n+1}}}&=\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(z)}{\mathrm {d} z^{n}}}\right]\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi \right]\\&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(\xi ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {1}{(\xi -z)^{n+1}}}\right]\mathrm {d} \xi \\&={\frac {n!(n+1)}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{(n+1)+1}}}\mathrm {d} \xi \\&={\frac {(n+1)!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{(n+1)+1}}}\mathrm {d} \xi .\end{aligned}}}
Il valore di una funzione analitica
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
f
(
z
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
+
r
e
i
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle f\left(z\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f\left({z+re^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta }.}
Il raggio deve essere scelto in modo che il cerchio sia interamente contenuto nel dominio di analiticità della
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
Basta utilizzare il teorema di rappresentazione integrale sul cerchio di raggio
r
{\displaystyle r}
z
{\displaystyle z}
ξ
−
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle \xi -z=re^{i\theta }}
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
C
r
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
=
1
2
π
i
∫
0
2
π
f
(
z
+
r
e
i
θ
)
r
e
i
θ
i
r
e
i
θ
d
θ
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
+
r
e
i
θ
)
d
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f\left(z\right)&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{r}}{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{{\frac {f\left({z+re^{i\theta }}\right)}{re^{i\theta }}}ire^{i\theta }\mathrm {d} \theta }\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{f\left({z+re^{i\theta }}\right)\mathrm {d} \theta }.\end{aligned}}}
Sia
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
|
f
(
z
)
|
≤
M
{\displaystyle \left|{f\left(z\right)}\right|\leq M}
γ
{\displaystyle \gamma }
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
L
{\displaystyle L}
δ
{\displaystyle \delta }
z
{\displaystyle z}
γ
{\displaystyle \gamma }
|
f
(
z
)
|
≤
M
L
2
π
δ
,
|
d
n
f
(
z
)
d
z
n
|
≤
n
!
M
L
2
π
δ
n
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{f\left(z\right)}\right|&\leq {\frac {ML}{2\pi \delta }},\\\left|{\frac {d^{n}f\left(z\right)}{dz^{n}}}\right|&\leq {\frac {n!ML}{2\pi \delta ^{n+1}}}.\end{aligned}}}
Per la dimostrazione basta osservare le seguenti disuguaglianze nelle quali si è usata la disuguaglianza di Darboux considerando che
|
f
(
z
)
|
≤
M
{\displaystyle \left|{f\left(z\right)}\right|\leq M}
|
ξ
−
z
|
≥
δ
{\displaystyle \left|{\xi -z}\right|\geq \delta }
|
f
(
z
)
|
=
|
1
2
π
∮
γ
f
(
ξ
)
ξ
−
z
d
ξ
|
≤
1
2
π
∮
γ
|
f
(
ξ
)
ξ
−
z
|
d
ξ
≤
M
2
π
δ
∮
γ
d
ξ
=
M
L
2
π
δ
,
|
d
n
f
(
z
)
d
z
n
|
=
|
n
!
2
π
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
d
ξ
|
≤
n
!
2
π
∮
γ
|
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
n
+
1
|
d
ξ
≤
n
!
M
2
π
δ
n
+
1
∮
γ
d
ξ
=
n
!
M
L
2
π
δ
n
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|f(z)|&=\left|{{\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }{{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi }}\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }{\left|{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\right|\mathrm {d} \xi }\\&\leq {\frac {M}{2\pi \delta }}\oint _{\gamma }\mathrm {d} \xi \\&={\frac {ML}{2\pi \delta }},\\\\\left|{\frac {\mathrm {d} ^{n}f\left(z\right)}{\mathrm {d} z^{n}}}\right|&=\left|{{\frac {n!}{2\pi }}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi }}\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi }}\oint _{\gamma }{\left|{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{n+1}}}\right|\mathrm {d} \xi }\\&\leq {\frac {n!M}{2\pi \delta ^{n+1}}}\oint _{\gamma }\mathrm {d} \xi \\&={\frac {n!ML}{2\pi \delta ^{n+1}}}.\end{aligned}}}
Inverso del teorema di rappresentazione integrale
modifica
Se una funzione
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
z
′
)
z
′
−
z
d
z
′
{\displaystyle f\left(z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({z'}\right)}{z'-z}}\mathrm {d} z'}}
ed è una funzione continua , allora
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
funzione analitica all'interno del dominio
S
{\displaystyle S}
γ
{\displaystyle \gamma }
Si calcoli
|
f
(
z
+
Δ
z
)
−
f
(
z
)
Δ
z
−
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
2
d
ξ
|
=
1
2
π
|
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
−
Δ
z
)
Δ
z
d
ξ
−
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
Δ
z
d
ξ
−
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
2
d
ξ
|
=
1
2
π
|
Δ
z
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
−
Δ
z
)
(
ξ
−
z
)
2
d
ξ
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{{\frac {f\left({z+\Delta z}\right)-f(z)}{\Delta z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}\right|={\frac {1}{2\pi }}\left|{\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z-\Delta z}\right)\Delta z}}\mathrm {d} \xi }-\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)\Delta z}}\mathrm {d} \xi -\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}}\right|={\frac {1}{2\pi }}\left|{\Delta z\oint _{\gamma }{{\frac {f(\xi )}{\left({\xi -z-\Delta z}\right)\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}\right|.\end{aligned}}}
Per ipotesi
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
lim
Δ
z
→
0
|
Δ
z
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
−
Δ
z
)
(
ξ
−
z
)
2
d
ξ
|
=
0
,
{\displaystyle \lim \limits _{\Delta z\to 0}\left|{\Delta z\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z-\Delta z}\right)\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }}\right|=0,}
quindi esiste la derivata di
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
d
f
(
z
)
d
z
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
2
d
ξ
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f\left(z\right)}{\mathrm {d} z}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{{\frac {f\left({\xi }\right)}{\left({\xi -z}\right)^{2}}}\mathrm {d} \xi }.}
Ma se la derivata esiste, allora valgono le condizioni di Cauchy-Riemann , perciò
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
(EN Essays on non locally convex Hardy classes V.P. Havin [V.P. Khavin] (ed.) N.K. Nikol'skii (ed.) , Complex analysis and spectral theory , Springer (1981) pp. 1–89
(EN Estimates for multilinear singular integral operators with polynomial growth (1986) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(z)}{\mathrm {d} z^{n+1}}}&=\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(z)}{\mathrm {d} z^{n}}}\right]\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}\mathrm {d} \xi \right]\\&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(\xi ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left[{\frac {1}{(\xi -z)^{n+1}}}\right]\mathrm {d} \xi \\&={\frac {n!(n+1)}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{(n+1)+1}}}\mathrm {d} \xi \\&={\frac {(n+1)!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{(n+1)+1}}}\mathrm {d} \xi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f833b895679083724d521d560cb50453412dc5)
