Lista dei momenti di inerzia

Di seguito è riportato un elenco riassuntivo dei principali momenti di inerzia.

Momenti di inerzia

Massa puntiforme

Descrizione	Momento di inerzia	Commento
Massa puntiforme m a distanza r dall'asse di rotazione.	$I=mr^{2}$	Una massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il teorema degli assi paralleli (Huygens-Steiner) si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.
Due masse puntiformi, M e m, con massa ridotta $\mu$ e separate da una distanza x (asse di rotazione passante per il centro di massa).	$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	—

Asta

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Asta di lunghezza L e massa m (asse di rotazione alla fine dell'asta)		$I_{\mathrm {estrem.} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!$	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione alla fine della piastra, e con h = L e w = 0.
Asta di lunghezza L e massa m		$I_{\mathrm {centrale} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!$	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con w = L e h = 0.

Circonferenza

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Circonferenza sottile di raggio r e massa m		$I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$	Questa espressione vale anche per un anello abbastanza sottile da essere approssimabile a una circonferenza, ed è un caso particolare sia del toro per b = 0 (vedi più in basso), sia del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=r2 e h = 0.

Disco

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco solido e sottile, di raggio $r$ e massa $m$		$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!$	Questo è un caso particolare del cilindro solido, con $h=0$.
Semidisco sottile, di raggio $r$ e massa $m$		$I_{z}=mr^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {16}{9\pi ^{2}}}\right)$	Si può ottenere questo risultato molto semplicemente, considerando il momento d'inerzia di un disco rispetto al suo centro di massa come somma dei momenti d'inerzia di due dischi rispetto al centro dei loro diametri. Dopodiché, si applica il teorema di Huygens-Steiner all'inverso (distanza del centro del diametro dal centro di massa $d={\frac {4}{3\pi }}r$). Analogamente al disco, questo è un caso particolare del semicilindro solido, con $h=0$.

Cilindro

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m		$I=mr^{2}\!$	Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). È un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e r1=r2. Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia.
Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m		$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$   $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=0.
Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno r1, raggio esterno r2, lunghezza h e massa m		$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)$   $I_{x}=I_{y}=$ $={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$o definendo lo spessore normalizzato tn = t/r e ponendo r = r2,allora $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	Con densità ρ e la stessa geometria $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}=$ $={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)$
Semicilindro solido di raggio r, altezza h e raggio r		$I_{z}=mr^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {16}{9\pi ^{2}}}\right)$	Vedi il semidisco per il calcolo

Sfera

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Sfera (cava) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!$	Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di circonferenze infinitamente sottili, una sopra l'altra, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).
Sfera (piena) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$	Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r). Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r.

Cono

Descrizione	Figura	Momento di inerzia
Cono (pieno) circolare retto con raggio r, altezza h e massa m		$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$   $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$

Toro

Descrizione	Figura	Momento di inerzia
Toro con raggio del tubo (raggio del cerchio rosso) a, distanza dal centro del tubo al centro del toro (raggio del cerchio rosa) b e massa m.		Intorno al diametro: ${\frac {1}{8}}\left(5a^{2}+4b^{2}\right)m$   Intorno all'asse passante per il centro: $\left({\frac {3}{4}}a^{2}+b^{2}\right)m$

Ellissoide

Descrizione	Figura	Momento di inerzia
Ellissoide (solido) di semiassi a, b, e c, con asse di rotazione a e massa m		$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$

Piastra

Descrizione	Figura	Momento di inerzia
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m (Asse di rotazione all'estremità della piastra)		$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}\,\!$
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m		$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$

Parallelepipedo

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m		$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza $s$: $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$.
Parallelepipedo solido di altezza D, larghezza W, lunghezza L e massa m con asse lungo la diagonale più lunga.		$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Per un cubo di lato $s$, $I={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$.

Poligono piano

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Poligono piano con vertici ${\vec {P}}_{1},{\vec {P}}_{2},\ldots ,{\vec {P}}_{N}$ e massa $m$ uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.		${\begin{aligned}I&=\\&={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|(({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n+1})+({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n})+({\vec {P}}_{n}\cdot {\vec {P}}_{n}))}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|}}\end{aligned}}$	Questa espressione assume che il poligono sia stellato. I vettori ${\vec {P}}_{1}$, ${\vec {P}}_{2}$, ${\vec {P}}_{3}$, ..., ${\vec {P}}_{N}$ sono i vettori posizione dei vertici.

Disco con massa distribuita normalmente

Descrizione	Figura	Momento di inerzia
Disco infinito con massa distribuita normalmente su due assi intorno all'asse di rotazione (per esempio: $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\exp({-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2})$ dove $\rho (x,y)$ è la densità della massa in funzione di x e y).		$I=m(a^{2}+b^{2})\,\!$

Voci correlate

• Momento di inerzia