Numero di Prandtl

Il numero di Prandtl (abbreviato con $\mathrm {Pr}$) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

È definito come:

$\mathrm {Pr} ={\nu \over \alpha }={\mu \,c_{p} \over \lambda }$

dove (relativamente al fluido in esame):

• $\nu$ è la diffusività cinematica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in $\left[\mathrm {m} ^{2}\mathrm {s} ^{-1}\right]$;
• $\alpha$ è la diffusività termica, misurata nel SI in $\left[\mathrm {m} ^{2}\mathrm {s} ^{-1}\right]$;
• $\mu$ è la viscosità dinamica, misurata nel SI in $\left[\mathrm {Pa} \,\mathrm {s} \right]=\left[\mathrm {kg} \,\mathrm {m} ^{-1}\mathrm {s} ^{-1}\right]$;
• $c_{p}$ è la capacità termica specifica a pressione costante, misurato nel SI in: $\left[\mathrm {J} \,\mathrm {kg} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]=\left[\mathrm {m} ^{2}\,\mathrm {K} ^{-1}\mathrm {s} ^{-2}\right]$;
• $\lambda$ è la conduttività termica, misurata nel SI in $\left[\mathrm {W} \,\mathrm {m} ^{-1}\mathrm {K} ^{-1}\right]=\left[\mathrm {kg} \,\mathrm {m} \,\mathrm {K} ^{-1}\mathrm {s} ^{-3}\right]$.

Formulazione della definizione matematica

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

$\rho {\frac {\mathrm {D} {\hat {H}}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {q} +\tau :\nabla \mathbf {u} +{\frac {\mathrm {D} p}{\mathrm {D} t}}$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• ${\frac {\mathrm {D} {\hat {H}}}{\mathrm {D} t}}$ è la derivata materiale dell'entalpia specifica (${\hat {H}}$), misurata in $\left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {kg} }}={\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}}}\right)$;
• $\mathbf {q}$ è la densità di corrente termica, misurata in $\left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}}}={\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right)$;
• $\tau :\nabla \mathbf {u}$ è l'energia persa per dissipazione viscosa per unità di volume, misurata in $\left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)$;
  • $\tau$ è il tensore dello sforzo di taglio, misurato in $(\mathrm {Pa} )$;
  • $\nabla \mathbf {u}$ è il gradiente della velocità del fluido, misurato in $(\mathrm {s} ^{-1})$;
• ${\frac {\mathrm {D} p}{\mathrm {D} t}}$ è la derivata materiale della pressione, misurata in $\left({\frac {\mathrm {Pa} }{\mathrm {s} }}\right)$.

Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.

Questa equazione nel caso di fluido viscoso che segue la legge di Newton-Stokes e la legge di Fourier si riduce a:

$\rho c_{p}{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\nabla \cdot (\lambda \nabla T)+\mu \nabla ^{2}u$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• $\rho$ è la densità, $\left({\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\right)$;
• $c_{p}$ è la capacità termica specifica a pressione costante, $\left({\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {K} }}\right)$;

• $\lambda$ è la conduttività termica $\left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {K} }}\right)$
• $\mu$ è la viscosità dinamica $(\mathrm {Pa} \cdot \mathrm {s} )$
• $T$ è la temperatura $(\mathrm {K} )$.

Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

$\rho c_{p}{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\lambda \nabla ^{2}T+\mu \nabla ^{2}u$

ovvero:

${\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\alpha \nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$,

in cui (relativamente al fluido in esame):

• $\alpha$ è la diffusività termica;
• $\nu$ è la diffusività cinematica.

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando questa equazione. Si pone $T'={\frac {T-T_{0}}{\nabla ^{2}T}}$ e $\nabla '=L\nabla$ risulta che:

$\left(\mathbf {u} \cdot {\frac {\nabla '}{L}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)T'\nabla ^{2}T=\alpha {\frac {\nabla '^{2}}{L^{2}}}T'\nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$,

perciò:

$\left({\frac {L}{\alpha }}\mathbf {u} \cdot \nabla '+{\frac {\partial }{\partial \left({\frac {\alpha }{L^{2}}}t\right)}}\right)T'=\nabla '^{2}T'+{\frac {\nu }{\alpha }}{\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\Phi$,

ora $(\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} )'={\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\nabla ^{2}u$ è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione di bilancio dell'energia diventa:

${\frac {\mathrm {D} 'T'}{\mathrm {D} 't}}=\nabla '^{2}T'+\mathrm {Pr} \nabla '^{2}u'$

Interpretazione fisica

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

• circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
• tra 100 e 40000 nel caso degli oli motore;
• circa 0,015 per il mercurio.
• circa 7 per l'acqua (a 20 °C).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle, per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Bibliografia

• (EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2ª ed., Wiley, 2007, ISBN 978-0-470-11539-8.
• (EN) C.F. Curtiss e R. Byron Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, New York, Wiley, 1964, ISBN 978-0-471-40065-3.

Voci correlate

• Numero di Sherwood
• Numero di Eckert
• Numero di Lewis
• Numero di Schmidt

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