Raggio terrestre

Terra

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Il raggio della Terra è la distanza del centro della Terra dalla sua superficie al livello medio del mare. La Terra non è una sfera perfetta ma piuttosto un ellissoide di rotazione appiattito in corrispondenza del Polo Nord e Sud, perciò chiamato anche sferoide oblato o geoide. La forma non perfettamente sferica della Terra comporta che il suo raggio vari a seconda di dove avviene la misurazione.

Raggio equatoriale

Il raggio equatoriale (ovvero il raggio della circonferenza immaginaria quale l'equatore) della Terra è approssimativamente pari a 6.378 chilometri.

Raggio polare

Il raggio polare della Terra (distanza del centro della Terra da uno dei due Poli) è approssimativamente pari a 6.356 chilometri.

Raggio quadratico medio

Il raggio quadratico medio (

Q_{r}

) di un ellissoide è il metodo più accurato per esprimere il raggio della Terra.

Q_{r}={\sqrt {\frac {3a^{2}+b^{2}}{4}}}

dove a è il raggio equatoriale e b il raggio polare.

Per la Terra:

6.372,507 km (utilizzando i raggi approssimati).

Nota: in realtà, partendo da valori di a e b di sole 4 cifre significative e senza valutare la propagazione degli errori di misura nei calcoli, si deve considerare significativo un raggio pari a 6.373 chilometri. Utilizzando dati più precisi, ovvero a = 6.378,137 km e b = 6.356,702 km, si ottiene un raggio quadratico medio significativo pari a 6.372,797 km).

Raggio medio

Il raggio medio è approssimativamente pari a 6371,005076123 chilometri. Questo numero è derivato mediando le distanze centro-superficie di tutti i punti del globo. In modo equivalente il raggio medio è

R_{2}={\sqrt {\frac {a^{2}+{\frac {ab^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}})}}{2}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}

dove A è l'area della superficie terrestre. Questo sarebbe il raggio di un'ipotetica sfera perfetta che avesse la stessa area della superficie della Terra.

Calcolo del raggio terrestre

Il metodo di Eratostene

Il matematico, geografo ed astronomo Eratostene (III secolo a.C.), era direttore della grande biblioteca di Alessandria d'Egitto quando formulò il metodo per calcolare le dimensioni della Terra nel 240 a.C. - 230 a.C.

Dai suoi studi, era venuto a conoscenza del fatto che a Syene (l'attuale Assuan), a mezzogiorno del solstizio d'estate, il Sole si trovava proprio sullo zenit, tanto che il fondo di un pozzo profondo ne veniva illuminato, perciò un bastone piantato verticalmente in un terreno perfettamente pianeggiante non avrebbe proiettato alcun'ombra in terra.

Invece ad Alessandria questo non succedeva mai, gli obelischi proiettavano comunque la loro ombra sul terreno.

Ciò era già una dimostrazione pratica della rotondità della Terra (come ampiamente dimostrato da Aristotele). L'idea che la Terra dovesse avere una forma sferica era comunque già accettata. Questa convinzione scaturiva dall'osservazione delle eclissi di Luna durante le quali la forma dell'ombra terrestre appariva sempre come un arco di circonferenza.

Eratostene perciò, per procedere con i suoi calcoli, ipotizzò la Terra perfettamente sferica ed il Sole sufficientemente distante da considerare paralleli i raggi che la investono. Inoltre assunse che Alessandria e Syene si trovassero sullo stesso meridiano.

Durante il solstizio d'estate calcolò l'angolo di elevazione del Sole ad Alessandria, misurando l'ombra proiettata proprio da un bastone piantato in terra, ricavando approssimativamente un valore di 1/50 di circonferenza (cioè 7° 12').

La distanza tra le due città, basata sui trasferimenti delle carovane, era stimata in 5.000 stadia (circa 800 km, tuttavia il valore preciso dello stadium, usato a quell'epoca ad Alessandria, non è attualmente conosciuto).

Perciò la circonferenza della Terra doveva essere di 50 * 5.000 = 250.000 stadia (circa 40.000 km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: 40.075 km).
Una volta stabilito un valore per essa, il raggio terrestre si ricavava dalla nota relazione che lega la circonferenza ed il suo raggio.

La figura mostra il procedimento seguito da Eratostene per calcolare la dimensione del raggio della Terra.

In termini matematici, facendo riferimento alla figura, abbiamo:

\tan \alpha ={\frac {l}{h}}\quad \to \quad \alpha =\arctan {\frac {l}{h}}

dove

h: altezza del palo
l: lunghezza dell'ombra proiettata dal palo sul terreno
$\alpha$ : angolo di elevazione del Sole

Poiché

{\frac {D}{2\pi R}}={\frac {\alpha }{360^{o}}}

dove

D: distanza tra Alessandria (punto A) e Syene (punto S), aventi per ipotesi lo stesso meridiano
R: raggio della Terra, per ipotesi una sfera perfetta

si ottiene

R={\frac {D}{2\pi }}{\frac {360^{o}}{\arctan {\frac {l}{h}}}}

I valori ricavati da Eratostene furono: circa 12629 km per il diametro terrestre ovvero un raggio pari a 6314,5 km (incredibilmente prossimo alla stima media condotta con mezzi attuali).

Il metodo elaborato da Eratostene si basa su alcune assunzioni (alcune già enunciate), senza le quali sarebbe necessario introdurre delle correzioni alla procedura di calcolo affinché sia ancora valido:

la Terra è perfettamente sferica
il Sole è tanto distante da considerare paralleli i raggi su Alessandria e su Syene
le due città si trovano sullo stesso meridiano (in realtà esse differiscono in longitudine di 3°)
Syene è situata esattamente sul Tropico del Cancro (mentre effettivamente è a 55 km a Nord di esso)
la differenza angolare misurata ad Alessandria è di 7° 12' (essa è in realtà di 7° 5')

Il metodo usato da Eratostene è descritto, con molta accuratezza, dall'astrofisico e scrittore Carl Sagan all'interno (cioè dal minuto 28 al minuto 35 circa) della prima (Le Spiagge dell'Oceano Cosmico) delle 13 puntate che costituiscono il programma televisivo di divulgazione scientifica sull'astronomia Cosmo, andato in onda a metà degli anni ottanta all'interno del programma Quark.

Cronologia delle misurazioni del raggio terrestre

Geodesista	Luogo	Anno	Raggio (metri) (equatoriale - polare)	Schiacciamento
Eratostene	Egitto	230 a.C.	6 314 500
Posidonio	Egitto e Rodi	100 a.C.	4 458 598
Abelseda	Arabia	827	7 122 910
Al-Biruni	Persia	995	6 339 600
Albazen	Arabia	1100	6 074 308
Fernal	Francia	1528	6 448 480
Snell	Olanda	1617	6 099 082
Norwood	Inghilterra	1635	6 412 592
Ricolli e Firmaldi	Lombardia	1658	6 865 301
Picard	Francia	1669-1672	6 369 140
Cassini	Francia	1681-1718	6 411 948
Everest		1830	6 377 276 - 6 356 075	1/300,8
Bessel		1841	6 377 397 - 6 356 079	1/299,15
Clarke		1866	6 378 206 - 6 356 584	1/294,98
Clarke		1880	6 378 301 - 6 356 584	1/293,47
Hayford		1909	6 378 388 - 6 356 912	1/297
Fischer		1960	6 378 160 - 6 356 778	1/298,3

dove lo schiacciamento è così definito:

{\mbox{Schiacciamento}}={\frac {\mbox{Raggio equatoriale - Raggio polare}}{\mbox{Raggio equatoriale}}}

Per fare un confronto, pianeti come Giove e Saturno, la cui velocità di rotazione è maggiore di quella della Terra, hanno uno schiacciamento di 1/15 e 1/10 rispettivamente (schiacciamento favorito anche dal fatto che sono pianeti gassosi e non rocciosi).

Bibliografia

I dati da Eratostene a Cassini sono stati tratti da un articolo di David Manthey reperibile qui: http://www.orbitals.com/books/tps/research.html
Quelli da Everest a Fischer invece dal seguente libro: Franklyn M. Branley, The Earth: Planet Number Three, 1966, T. Y. Crowell Company.

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