Somma di Minkowski

In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti $A$ e $B$ in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di $A$ con quelli di $B$. Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è un'operazione binaria tra due forme geometriche.

Questa operazione (chiamata anche dilatazione di A da parte di B) prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski, che per primo la definì, e trova applicazione nell'elaborazione e nell'analisi morfologica delle immagini (riduzione del rumore ed estrazione di forme).

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ e due suoi sottoinsiemi $A$ e $B$, la somma di Minkowski è l'insieme così definito:

$A+B:=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \ |\mathbf {a} \in A\,,\mathbf {b} \in B\}.$

Esempi

Insiemi finiti di punti

Dati due 2-simplessi (cioè due triangoli) individuati dai vertici come

{(1, 0), (0, 1), (0, -1)}

e

{(0, 0), (1, 1), (1, -1)} ,

la somma di Minkowski deve contenere tutti i punti ottenibili sommando coppie di vertici, cioè i punti

{(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -2)},

e tutti i punti ottenibili come combinazioni convesse dei precedenti, cioè tutti i punti dell'esagono convesso che ha come vertici i punti

(0,1), (1,2), (2,1), (2,-1), (1,-2), (0,-1) .

A	B	Insieme somma A + B

Insiemi continui di punti

La somma di Minkowski di due quadrati.

Siano dati due quadrati di lato 1, così definiti:

$Q_{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq 1\right\}$

$Q_{2}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq x\leq 2,\,1\leq y\leq 2\right\}$.

Si verifica facilmente che la somma $Q_{3}=Q_{1}+Q_{2}$ è definita da:

$Q_{3}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq x\leq 3,\,1\leq y\leq 3\right\}$.

Se invece dei quadrati pieni, si prende solo il bordo di $Q_{1}$ o $Q_{2}$ (o di entrambi), la somma di Minkowski dà sempre il quadrato pieno $Q_{3}$ (infatti ogni punto interno si può ottenere come somma di un punto su un lato orizzontale con un punto un lato verticale).

Proprietà

Per la somma di Minkowski si possono dimostrare numerose proprietà; di seguito ne vengono riportate alcune, raggruppate per tipologia; il primo gruppo è relativo alle caratteristiche algebriche dell'operazione:

• la somma è associativa;
• la somma è commutativa;
• l'elemento neutro è l'insieme $\{\mathbf {0} \}$ costituito dalla sola origine;
• in generale non esiste l'inverso di un elemento.

Tra le proprietà geometriche possiamo invece annoverare le seguenti:

• se entrambi gli addendi sono sottospazi vettoriali dello spazio ambiente lo è anche la loro somma;
• se uno dei due addendi è traslato, lo è anche la somma;
• se l'origine viene spostata, la somma viene traslata nella direzione opposta con la stessa intensità;
• il perimetro della somma di due figure è uguale alla somma dei loro perimetri.

Infine, in alcuni casi particolari è possibile prevedere la forma della somma sulla base della forma degli addendi:

• se i due addendi sono convessi, lo è anche la loro somma;
• la somma di una figura e della sua simmetrica rispetto all'origine ha simmetria centrale;
• se $X=B(\mathbf {x} ,r)$ è la palla di centro $\mathbf {x}$ e raggio $r$, $Y=B(\mathbf {y} ,s)$ è la palla di centro $\mathbf {y}$ e raggio $s$, la somma vale $X+Y=B(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,r+s)$.

Altre operazioni

Partendo dalla somma di Minkowski è possibile definire numerose operazioni derivate.

Sottrazione

Anche se la somma di Minkowski non possiede un elemento inverso, è tuttavia possibile definire un'operazione con caratteristiche simili.

Dato $y\in Y$, definiamo

$X+y=X+\left\{y\right\}$

che è la traslazione di X in direzione y.

La somma si può allora scrivere

$X+Y=\bigcup _{y\in Y}\left(X+y\right)$.

La sottrazione di Minkowski , o erosione, è allora definita come

$X-Y=\bigcap _{y\in Y}\left(X-y\right)$

che può essere anche scritto come

$X-Y=\{z:(Y+z)\subseteq X\}$.

Questa operazione è invariantiva nel senso che

$(X+z)-(Y+z)=X-Y$.

Chiusura e apertura

Dilatazione ed erosione non sono inverse una dell'altra; è pertanto possibile definire le due seguenti operazioni non banali:

• chiusura: $C(X,Y)=(X+Y)-Y$;
• apertura: $O(X,Y)=(X-Y)+Y$.

Se $Y$ è un cerchio, l'operazione di apertura corrisponde alla figura generata dal cerchio rotolando all'interno di $X$, quella di apertura al rotolare del cerchio all'esterno di $X$. In entrambi i casi si ottiene uno smussamento degli angoli di $X$.

Applicazioni

L'addizione di Minkowski gioca un ruolo centrale nella morfologia matematica. Questo interviene nel paradigma di pennello e aste della computer grafica 2D (introdotto da Donald E. Knuth per il sistema di definizione di caratteri tipografici METAFONT), e si conforma all'operazione di movimento solido della computer grafica 3D.

L'addizione di Minkowski viene inoltre utilizzata in uno stadio della dimostrazione del teorema di Minkowski, nella forma particolare

$\mathbf {C} +_{Mnk}\mathbf {C} =2\mathbf {C}$

per un insieme convesso simmetrico C che contiene 0, dove il membro sinistro denota la somma di Minkowski e il membro destro il suo ampliamento per un'omotetia di un fattore 2.

Questa operazione è qualche volta chiamata la convoluzione di due insiemi. Si tratta di una dizione piuttosto inappropriata: la effettiva convoluzione delle funzioni indicatrici degli insiemi infatti è una funzione con lo stesso supporto della somma di Minkowski.

Voci correlate

• Intervallo aritmetico
• Zonotopo
• Morfologia matematica
• Dilatazione (morfologia)

Collegamenti esterni

• (EN) Addizione di forme su Cut The Knot.org
• (EN) La somma di Minkowski applicata ad algoritmi di geometria computazionale