Nucleo (matematica)

In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come $\ker(f)$ , dal tedesco Kern. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Definizione

Omomorfismi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f\colon X\to Y$ è il sottoinsieme di $X$ costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di $Y$ :

\ker(f):=\left\{x\in X:f(x)=0_{Y}\right\}.

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

Il nucleo è sempre un sottogruppo di $X$ ; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di $X$ . Nel caso in cui $X$ sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e $f$ sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo $\ker(f)$ è un sottospazio vettoriale di $X$ (oltre ad esserne un sottogruppo).

Matrici

Sia $A$ una matrice di tipo $m\times n$ con elementi in un campo $K$ . Il nucleo di $A$ è l'insieme dei vettori $v$ in $K^{n}$ tali che:^[1]

Av=0.

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

{\begin{aligned}L_{A}\colon K^{n}&\to K^{m}\\v&\mapsto Av\end{aligned}}

e il nucleo di $A$ così definito è il nucleo di $L_{A}$ . In modo equivalente:

\ker A:=\{v\in K^{n}:Av=0\}.

Il nucleo di $A$ è un sottospazio vettoriale di $K^{n}$ , la cui dimensione è chiamata la nullità di $A$ .

Proprietà

Gruppi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f\colon G\to H$ è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

G/_{\ker f}

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$ .

D'altra parte, ogni sottogruppo normale $N$ di un gruppo $G$ è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

\pi \colon G\to G/N.

Iniettività

Sia $f$ un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione $f$ è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.^[2] L'ipotesi di linearità per $f$ è essenziale: poiché $f(0)=0$ , l'iniettività di $f$ implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di $f$ consista del solo elemento neutro 0, allora se:

f(v)=f(w)

per la linearità si ha:

f(v)-f(w)=f(v-w)=0

e quindi $v-w=0$ per ipotesi. In altre parole $v=w$ , e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rango

Sia $f$ un'applicazione fra spazi vettoriali $f\colon V\to W$ . Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di $f$ sono collegate tramite la seguente uguaglianza:^[3]

\dim V=\dim \ker f+\dim \operatorname {im} f.

La nullità di una matrice $A$ può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

n=\operatorname {null} (A)+\operatorname {rk} (A).

Nell'equazione, $n$ è il numero di colonne di $A$ , $\operatorname {null} (A)$ è l'indice di nullità e $\operatorname {rk} (A)$ è il rango di $A$ . Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemi

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme $X$ all'insieme $Y$ è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in $X$ .

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

\ker f:=\{(x,x')\in X\times X:f(x)=f(x')\}

e da:

\ker f:=\{\{w\in X:f(x)=f(w)\},x\in X\}.

L'insieme quoziente $X/\ker(f)$ , detto anche coimmagine di $f$ , è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$ . La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in $X\times X$ . Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Esempi

Data la matrice:

A={\begin{bmatrix}\sin(x)&-\cos(x)&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

dove $x$ è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad $A$ è l'insieme di vettori del tipo:

\ker A={\big \{}{\begin{bmatrix}\lambda \cos(x)&\lambda \sin(x)&0\\\end{bmatrix}}\ |\ \lambda \in \mathbb {R} {\big \}}

come si vede facendo il prodotto matriciale tra $A$ e il vettore colonna $v_{\lambda }=(\lambda \cos(x),\lambda \sin(x),0)^{T}$ .

Note

^ Hoffman, Kunze, Pag. 71.
^ Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, p. 71, ISBN 88-339-5035-2, OCLC 797168806. URL consultato l'8 gennaio 2022.
^ S. Lang, Pag. 92.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Nucleo, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) M. Hazewinkel, Kernel of a matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Hoffman, Kunze, Pag. 71.

[2] Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, p. 71, ISBN 88-339-5035-2, OCLC 797168806. URL consultato l'8 gennaio 2022.

[3] S. Lang, Pag. 92.

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