Integrabilità uniforme

In analisi funzionale e teoria della misura, una famiglia di funzioni $\{f_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq L^{1}(\mu )$ è uniformemente integrabile se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta _{\epsilon }=\delta >0$ tale che per ogni $\alpha \in A$ si verifica:

$\int _{E}|f_{\alpha }|d\mu \leq \epsilon \qquad {\text{se }}\;\mu (E)\leq \delta$

cioè:

$\lim _{\mu (E)\to 0}\sup _{\alpha \in A}\int _{E}|f_{\alpha }|d\mu =0$

Tale concetto è utilizzato dal teorema di convergenza di Vitali per caratterizzare la convergenza di funzioni in $L^{1}$.

Definizione

Si dimostra che la seguente definizione è equivalente a quella data nell'introduzione. Una classe di ${\mathcal {C}}$ di variabili casuali è detta uniformemente integrabile se dato $\epsilon >0$ esiste $K\in [0,\infty )$ tale che il valore atteso:

$\mathrm {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \epsilon \ \qquad \forall X\in {\mathcal {C}}$

dove $I_{|X|\geq K}$ è la funzione indicatrice:

$I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1\qquad |X|\geq K\\0\qquad |X|<K\end{cases}}$

In modo equivalente, una classe ${\mathcal {C}}$ è uniformemente integrabile se:

• Esiste un $K$ finito tale che per ogni $X$ in ${\mathcal {C}}$ si ha $\mathrm {E} (|X|)\leqslant K$.
• Per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che, per ogni insieme misurabile $A$ che soddisfa $\mathrm {P} (A)\leqslant \delta$ e per ogni $X$ in ${\mathcal {C}}$, si ha $\mathrm {E} (|X|:A)\leqslant \epsilon$.

Teoremi

Un risultato che si deve a Nelson Dunford e Billy James Pettis (teorema di Dunford-Pettis) stabilisce che una classe di variabili casuali $X_{n}\subset L^{1}(\mu )$ è uniformemente integrabile se e solo se è relativamente compatta rispetto alla topologia debole $\sigma (L^{1},L^{\infty })$.

Il teorema di de la Vallée-Poussin, che prende il nome da Charles Jean de la Vallée-Poussin, afferma che la famiglia $\{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\subset L^{1}(\mu )$ è uniformemente integrabile se e soltanto se esiste una funzione convessa non-negativa e crescente $G(t)$ tale che:

$\lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty \qquad \sup _{\alpha }\mathrm {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty$

Bibliografia

• (EN) A.N. Shiryaev, Probability, 2ª ed., New York, Springer-Verlag, 1995, pp. 187–188, ISBN 978-0-387-94549-1.
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3ª ed., Singapore, McGraw–Hill Book Co., 1987, p. 133, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) J. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1

Voci correlate

• Integrale
• Successione di funzioni
• Teorema di convergenza di Vitali

Collegamenti esterni

• (EN) Integrabilità uniforme, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Uniformly integrable, in PlanetMath.
• (EN) Joe Diestel - Uniform integrability: an introduction (PDF), su openstarts.units.it.