Sia
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A,\mu )}}}
spazio di misura e sia
S
:
X
→
X
{\displaystyle S\colon X\to X}
trasformazione misurabile . Si dice che la trasformazione
S
{\displaystyle S}
μ
(
S
−
1
(
A
)
)
=
μ
(
A
)
,
∀
A
∈
A
.
{\displaystyle \mu (S^{-1}(A))=\mu (A),\;\;\;\forall A\in {\mathcal {A}}.}
Banalmente, la trasformazione identica
I
{\displaystyle I}
(
X
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {A,\mu )}}}
teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.
Esempio: diffeomorfismo di Anosov
modifica
Sia
X
=
R
k
/
Z
k
{\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}}
k
{\displaystyle k}
A
{\displaystyle A}
matrice invertibile definita su
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
k
{\displaystyle k}
R
k
→
R
k
{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}}
(
x
1
,
…
,
x
k
)
↦
A
(
x
1
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\mapsto A(x_{1},\dots ,x_{k})}
A
{\displaystyle A}
Z
k
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}
T
A
:
R
k
/
Z
k
→
R
k
/
Z
k
{\displaystyle T_{A}\colon \mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}}
(
x
1
,
…
,
x
k
)
↦
A
(
x
1
,
…
,
x
k
)
(
mod
1
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\mapsto A(x_{1},\dots ,x_{k}){\pmod {1}}}
endomorfismo torale lineare; nel caso in cui
|
det
A
|
=
1
{\displaystyle |\det A|=1}
automorfismo .
Sia dunque
S
(
x
,
y
)
=
(
x
+
y
,
x
+
2
y
)
(
mod
1
)
{\displaystyle S(x,y)=(x+y,x+2y){\pmod {1}}}
diffeomorfismo di Anosov .
Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è
J
=
det
|
1
1
1
2
|
=
1
,
{\displaystyle J=\det {\begin{vmatrix}1&1\\1&2\\\end{vmatrix}}=1,}
dunque la trasformazione preserva la misura.
Gli autovalori della trasformazione
S
{\displaystyle S}
λ
1
=
3
2
−
5
2
{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}}
λ
1
=
3
2
+
5
2
{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}
0
<
λ
1
<
1
<
λ
2
{\displaystyle 0<\lambda _{1}<1<\lambda _{2}}
Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione
(
S
−
1
(
x
,
y
)
=
(
2
x
−
y
,
y
−
x
)
)
{\displaystyle (S^{-1}(x,y)=(2x-y,y-x))}
P
f
(
x
,
y
)
=
f
(
2
x
−
y
,
y
−
x
)
(
mod
1
)
.
{\displaystyle Pf(x,y)=f(2x-y,y-x){\pmod {1}}.}
P
1
=
1
{\displaystyle P1=1}
S
{\displaystyle S}
misura di Borel .
La mappa di Gauss
T
(
x
)
=
1
x
−
⌊
1
x
⌋
{\displaystyle T(x)={\frac {1}{x}}-\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor }
Y
=
[
0
,
1
]
∖
Q
{\displaystyle Y=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }
T
:
Y
→
Y
{\displaystyle T\colon Y\to Y}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
(
A
)
=
1
log
2
∫
A
1
1
+
x
d
x
{\displaystyle \mu (A)={\frac {1}{\log {2}}}\int _{A}^{}{\frac {1}{1+x}}dx}
per ogni insieme di Borel
A
⊆
[
0
,
1
]
{\displaystyle A\subseteq [0,1]}
T
−
1
[
0
,
s
]
=
{
x
|
0
≤
T
(
x
)
≤
s
}
=
⋃
n
=
1
∞
[
1
s
+
n
,
1
n
]
{\displaystyle T^{-1}[0,s]=\left\{x|0\leq T(x)\leq s\ \right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{s+n}},{\frac {1}{n}}\right]}
è un'unione disgiunta, quindi
μ
(
T
−
1
[
0
,
s
]
)
=
1
log
2
∑
n
=
1
∞
∫
1
s
+
n
1
n
1
1
+
x
d
x
{\displaystyle \mu (T^{-1}[0,s])={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{s+n}}^{\frac {1}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}
=
1
log
2
∑
n
=
1
∞
(
log
(
1
+
1
n
)
−
log
(
1
+
1
s
+
n
)
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {1}{s+n}}\right)\right)}
=
1
log
2
∑
n
=
1
∞
(
log
(
1
+
s
n
)
−
log
(
1
+
s
n
+
1
)
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {s}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {s}{n+1}}\right)\right)}
=
1
log
2
∑
n
=
1
∞
∫
s
n
+
1
s
n
1
1
+
x
d
x
{\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {s}{n+1}}^{\frac {s}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}
=
μ
(
[
0
,
s
]
)
.
{\displaystyle =\mu ([0,s]).}
Siano
(
X
i
,
B
i
,
μ
i
)
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {B}}_{i},\mu _{i})}
spazi di probabilità , con
i
=
1
,
2
{\displaystyle i=1,2}
T
:
X
1
→
X
2
{\displaystyle T\colon X_{1}\to X_{2}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
B
2
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}
T
{\displaystyle T}
misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni
A
∈
S
2
{\displaystyle A\in {\mathcal {S}}_{2}}
T
−
1
(
A
)
∈
B
1
{\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {B}}_{1}}
μ
1
(
T
−
1
(
A
)
)
=
μ
2
(
A
)
{\displaystyle \mu _{1}(T^{-1}(A))=\mu _{2}(A)}
![{\displaystyle Y=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff780cda95175b4886eb967f9698d171de57169)
![{\displaystyle A\subseteq [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3d8de430d45afa5c39b772e605c957117e8435)
![{\displaystyle T^{-1}[0,s]=\left\{x|0\leq T(x)\leq s\ \right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{s+n}},{\frac {1}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60f9777e8dff2d0a156df7c8871138a38006dea)
![{\displaystyle \mu (T^{-1}[0,s])={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{s+n}}^{\frac {1}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bc95dc07da1d0f0333e90359abaf4d7e70097f)
![{\displaystyle =\mu ([0,s]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c5fbd54aa46c81e71a36c98f437f63b28bb334)
