Trasformazione non singolare

In teoria della misura, una trasformazione non singolare è un particolare tipo di trasformazione misurabile tale che l'immagine inversa di insiemi trascurabili (cioè insiemi di misura nulla) attraverso di essa rimane trascurabile. Ogni trasformazione che preserva la misura è necessariamente una trasformazione non singolare, così come ogni trasformazione ergodica.

Definizione

Una trasformazione misurabile $S\colon X\to X$ su uno spazio di misura $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ è detta non singolare se $\mu (S^{-1}(A))=0$ per ogni insieme $A\in {\mathcal {A}}$ tale che $\mu (A)=0$.

Teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari

Sia $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ uno spazio di misura, $S\colon X\to X$ una trasformazione non singolare, $f\colon X\to X$ una funzione misurabile tale che $f\circ S\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$. Allora per ogni $A\in {\mathcal {A}}$,

$\int _{S^{-1}(A)}^{}f(S(x))\mu (dx)=\int _{A}^{}f(x)\mu S^{-1}(dx)=\int _{A}f(x)J^{-1}(x)\mu (dx),$

con

$\mu S^{-1}(B)=\mu (S^{-1}(B))$

e $J^{-1}$ tale che

$\mu (S^{-1}(B))=\int _{B}^{}J^{-1}(x)\mu (dx).$

Bibliografia

• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.

Voci correlate

• Spazio di misura
• Funzione misurabile
• Teoria ergodica
• Operatore di Frobenius-Perron
• Trasformazione che preserva la misura