3-varietà irriducibile

In geometria, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, una 3-varietà irriducibile è una 3-varietà in cui ogni sfera borda una palla. Una 3-varietà che contiene una sfera non bordante una palla è invece detta riducibile: questa può essere effettivamente "ridotta" a una varietà più semplice tramite l'operazione inversa della somma connessa. Una 3-varietà è prima se non è ottenuta come somma connessa non banale di due varietà. I concetti di irriducibile e prima sono equivalenti per tutte le 3-varietà, con due sole eccezioni. L'ipotesi di irriducibilità è però più facile da esprimere e da gestire in molti casi, ed è quindi quella usata più spesso.

Definizioni

Varietà irriducibile

Una 3-varietà è irriducibile se ogni sfera liscia borda una palla. Più rigorosamente, una 3-varietà differenziabile connessa $M$ è irriducibile se ogni sottovarietà differenziabile $S$ omeomorfa a una sfera è bordo $S=\partial D$ di un sottoinsieme $D$ omeomorfo alla palla chiusa

$D^{3}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.$

L'ipotesi di differenziabilità per $M$ non è importante, perché ogni 3-varietà topologica ha un'unica struttura differenziabile. L'ipotesi che la sfera sia liscia (cioè che sia una sottovarietà differenziabile) è invece importante: la sfera deve avere infatti un intorno tubolare.

Una 3-varietà non irriducibile è riducibile.

Varietà prima

Una 3-varietà connessa $M$ è prima se non è ottenibile come somma connessa

$M=N_{1}\#N_{2}$

di due varietà entrambe distinte da $S^{3}$ (o, analogamente, entrambe distinte da $M$).

Esempi

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$ è irriducibile: ogni sfera liscia nello spazio borda effettivamente una palla.

D'altra parte, la sfera di Alexander è una sfera in $\mathbb {R} ^{3}$ non liscia, che non borda una palla: l'ipotesi sulla liscezza della sfera è quindi necessaria.

Sfera, spazi lenticolari

La sfera $S^{3}$ è irriducibile. Lo spazio prodotto $S^{2}\times S^{1}$ non è irriducibile: infatti la sfera $S^{2}\times \{pt\}$ (dove 'pt' è un qualsiasi punto di $S^{1}$) ha complementare connesso, e quindi non può essere bordo di una palla.

Uno spazio lenticolare $L(p,q)$ con $p\neq 0$ (distinto quindi da $S^{2}\times S^{1}$) è irriducibile.

Varietà prime e irriducibili

Una 3-varietà è irriducibile se e solo se è prima, tranne in due casi: il prodotto $S^{2}\times S^{1}$ ed il fibrato non orientabile di sfere su $S^{1}$ sono entrambe prime ma non irriducibili.

Da irriducibile a prima

Una varietà irriducibile $M$ è effettivamente prima. Infatti, se

$M=N_{1}\#N_{2},$

la $M$ è ottenuta rimuovendo due palle da $N_{1}$ e $N_{2}$, e quindi incollando le due sfere di bordo risultanti. Queste due sfere incollate formano una sfera $S$ in $M$. Per ipotesi, deve bordare una palla. Ripercorrendo l'operazione di somma connessa a ritroso, $N_{1}$ oppure $N_{2}$ è ottenuta incollando due palle chiusa per il bordo. Questa operazione porta però soltanto ad $S^{3}$: quindi uno dei due fattori è in realtà banale, e la varietà $M$ è prima.

Da prima a irriducibile

Sia $M$ una varietà prima. Sia $S$ una sfera in essa contenuta. Tagliando lungo $S$ si può ottenere una sola varietà $N$ oppure due varietà $M_{1}$ e $M_{2}$. Nel secondo caso, incollando due palle chiuse nei due nuovi bordi sferici si ottengono due varietà $N_{1}$ e $N_{2}$ tali che

$M=N_{1}\#N_{2}.$

Poiché $M$ è prima, una delle due, ad esempio $N_{1}$, è $S^{3}$. Quindi $M_{1}$ è $S^{3}$ meno una palla: è quindi anch'esso una palla. La sfera $S$ quindi borda una palla: la varietà $M$ è quindi irriducibile.

Resta da considerare il caso in cui tagliando lungo $S$ si ottiene un pezzo solo $N$. Esiste quindi una curva semplice chiusa $\gamma$ in $M$ intersecante $S$ in un punto solo. Sia $R$ l'unione di due intorni tubolari di $S$ e $\gamma$. Il bordo $\partial R$ risulta essere una sfera: questa deve bordare una palla. La varietà risultante è quindi pressoché determinata, e un'analisi attenta porta a verificare che si tratta di $S^{2}\times S^{1}$ oppure dell'altro fibrato non orientabile.

Bibliografia

• William Jaco, Lectures on 3-manifold topology, ISBN 0-8218-1693-4.

Voci correlate

• 3-varietà
• Somma connessa
• Teorema di Kneser-Milnor