La somma connessa è un'operazione eseguita in matematica, e più precisamente in geometria, per creare una nuova varietà a partire da due varietà date. Le varietà date sono topologiche o differenziabili.

In modo analogo è definita anche la somma connessa fra nodi, un'operazione che costruisce un nodo a partire da due nodi dati.

A dispetto del nome scelto, le operazioni di somma connessa hanno spesso delle analogie con l'operazione di moltiplicazione fra numeri interi. In particolare, per le varietà di dimensione 2 e 3, e per i nodi, vi sono dei teoremi che, analogamente a quanto enunciato nel teorema fondamentale dell'aritmetica, sostengono che ogni varietà/nodo si ottiene in modo unico come somma connessa di alcune varietà indecomponibili, chiamate prime in analogia con i numeri primi. Non esistono però teoremi di questo tipo in dimensione 4 o superiore.

Somma connessa fra varietà

modifica
 
La somma connessa di due superfici: si rimuovono le parti interne di due dischi, e si incollano le due circonferenze rimanenti. Il risultato di questa operazione è una nuova superficie.

Definizione

modifica

Siano   e   due varietà topologiche della stessa dimensione  . Siano   e   due aperti rispettivamente in   e  , le cui chiusure sono entrambe omeomorfe al disco chiuso  -dimensionale

 

Quindi  e   sono entrambe omeomorfe alla palla aperta

 

e il loro bordo è omeomorfo alla sfera  -dimensionale

 

Sia quindi   un fissato omeomorfismo

 

La somma connessa di   e   è quindi definita come lo spazio che si ottiene rimuovendo le due palle aperte da   e   e incollando successivamente i nuovi bordi sferici tramite la mappa  . Questo nuovo spazio viene indicato con  #  ed è anch'esso una varietà  -dimensionale. Formalmente:

 

dove   è la relazione di equivalenza che identifica ogni   in   con l'immagine   in  .

Dipendenza dalle scelte fatte

modifica

La varietà ottenuta  #  dipende dalla scelta degli aperti   e dall'omeomorfismo  . Se però le varietà   sono differenziabili, e ogni omeomorfismo nella definizione è in verità un diffeomorfismo, la scelta degli aperti non influisce nel risultato.

D'altro canto, se l'omeomorfismo   è sostituito con un altro omeomorfismo   omotopo a   il risultato non cambia. A meno di omotopia, vi sono solo 2 omeomorfismi di   in sé: quello che mantiene l'orientazione della sfera e quello che la inverte. Quindi ci sono solo due possibili risultati.

Quindi se le varietà sono differenziabili la somma connessa  #  dipende soltanto dall'orientazione della mappa d'incollamento  . In alcuni casi (ad esempio, per le superfici), anche l'orientazione della mappa è ininfluente.

Per molte varietà di dimensione maggiore l'orientazione della mappa è però determinante, e generalmente si adotta un piccolo "trucco" per eliminare anche quest'ultimo fattore di arbitrarietà. Innanzitutto, questo può essere presente solo se entrambe  e   sono orientabili. Al fine di scegliere a priori uno dei due incollamenti, in questo caso si suppone che  e   siano orientate: l'orientazione delle varietà induce un'orientazione nelle sfere che andranno identificate, e nell'operazione si decide di incollare queste tramite una mappa che inverta l'orientazione, in modo da ottenere una nuova varietà orientata  #  in modo concorde alle orientazioni precedenti.

Proprietà

modifica

La somma connessa per varietà differenziabili si comporta in modo simile alla moltiplicazione fra numeri interi, e questa similitudine è più marcata nelle dimensioni 2 e 3.

Dimensione qualsiasi

modifica

In qualsiasi dimensione  , l'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Inoltre la sfera   è un elemento neutro per l'operazione #:

 

Infatti effettuare una somma connessa con una sfera equivale a togliere un aperto omeomorfo a una palla, e reinserirne un altro, lasciando quindi invariata la varietà.

Dimensioni 2 e 3

modifica

In dimensione 2 e 3 l'analogia con i numeri interi si spinge oltre: esiste infatti un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni numero intero si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi. Una varietà differenziabile   è prima se non è ottenibile come somma connessa

 

dove entrambi i fattori   e   sono diversi da  . La classificazione delle superfici e il teorema di Kneser-Milnor sostengono rispettivamente che ogni 2- o 3-varietà   orientabile compatta è ottenibile in modo unico come prodotto di varietà prime:

 

In dimensione 2, le varietà prime orientabili e compatte sono la sfera e il toro. In dimensione 3, le 3-varietà prime sono infinite e non sono ancora state classificate in modo soddisfacente. Non esiste un teorema analogo per le varietà di dimensione 4 o superiore.

Somma connessa al bordo

modifica
 
Il corpo con manici di genere due è la somma connessa al bordo di due tori solidi

Esiste una versione di somma connessa al bordo per varietà con bordo   e   della stessa dimensione  . Consiste nello scegliere due dischi  -dimensionali

 

e nell'incollarli tramite un omeomorfismo  .

Il risultato è una nuova varietà con bordo, che dipende soltanto dalle componenti connesse di   e   contenenti i dischi. Ad esempio, un corpo con manici è ottenuto tramite somma connessa al bordo di più tori solidi.

Somma connessa fra nodi

modifica
 
Si disegnano due diagrammi dei nodi
 
Si sceglie un "nastro" che colleghi i due nodi
 
Si modifica la figura lungo il nastro, creando un unico nodo

Definizione

modifica

La somma connessa fra nodi è un'operazione analoga, che presenta alcune analogie con la somma connessa fra varietà. Consiste nella costruzione di un nodo a partire da due nodi dati, come mostrato nell'esempio in figura.

Come per le varietà, questa operazione non dipende dal tipo di diagramma scelto per rappresentare i nodi, né dalla "striscia" scelta su cui operare la somma connessa. La somma connessa di due nodi   e   si indica con  # .

Proprietà

modifica

L'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Il nodo banale   è l'elemento neutro dell'operazione, ovvero

 

per ogni altro nodo  . Come per le 2- e 3-varietà, esiste un Teorema di fattorizzazione in nodi primi. Un nodo   è primo se non è ottenibile come somma connessa

 

di due nodi non banali. Il teorema di fattorizzazione asserisce che ogni nodo   è ottenibile in modo unico come somma connessa di numeri primi

 

Come i numeri primi, i nodi primi sono quindi i "mattoni" della teoria dei nodi, ed è a loro che è rivolta generalmente maggiore attenzione.

Voci correlate

modifica
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica