Solido di Johnson

In geometria un solido di Johnson è un poliedro convesso le cui facce sono tutte costituite da poligoni regolari, ma che non è né un solido platonico, né un solido archimedeo, né un prisma, né un antiprisma. Le diverse facce possono essere poligoni con numeri diversi di lati. Il più semplice esempio di solido di Johnson è la piramide a base quadrata; essa ha una faccia quadrata e quattro facce triangolari.

La girobicupola quadrata elongata, il solido di Johnson con sigla J₃₇

I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da $J_{1}$ fino a $J_{92}$.

Storia

Nel 1966, Norman Johnson ha pubblicato una lista di poliedri che include tutti i 92 solidi e ha dato loro i nomi e i numeri da allora entrati nell'uso. Egli non ha dimostrato che di tali solidi ce ne fossero solo 92, ma ha avanzato questa congettura. La dimostrazione che la lista trovata da Johnson fosse completa è stata fornita da Victor Zalgaller nel 1969.

Proprietà

Valenze ai vertici

Come in ogni solido strettamente convesso, in ogni vertice incidono almeno tre facce e l'ampiezza totale dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Dato che un poligono regolare possiede angoli di almeno 60°, accade che in ogni vertice incidono al più cinque facce. La piramide pentagonale (J₂) costituisce un esempio di solido con un vertice di valenza 5.

Tra i solidi di Johnson la girobicupola quadrata elongata (J₃₇) è l'unica che risulta essere localmente regolare sui vertici: in ogni vertice incidono quattro facce e la composizione di queste quaterne è sempre la stessa: tre quadrati e un triangolo.

Facce

Gli unici poligoni che sono facce di qualche poliedro di Johnson hanno numero di lati pari a 3, 4, 5, 6, 8 o 10. Questo dato è il risultato della classificazione: non sembrano esserci modi più diretti per mostrare che solo questi valori sono ammessi.

Nomi

A prima vista i nomi dei poliedri di Johnson sembrano complicate bizzarrie; in realtà sono stati scelti in modo da risultare il più possibile descrittivi. Per padroneggiare i significati dei nomi bisogna osservare che gran parte dei solidi di Johnson si possono costruire con elaborazioni relativamente semplici a partire da poliedri piuttosto semplici: le prime piramidi, le cupole, le rotunde, i solidi platonici, i solidi archimedei, i prismi e gli antiprismi. Vediamo quindi il significato degli elementi lessicali utilizzati nei nomi.

• Il prefisso bi- significa che vengono unite per le basi due copie del solido richiamato successivamente. Le cupole e le rotunde si possono unire facendo incontrare o facce simili (si usa il prefisso (orto-) o facce dissimili (si usa il prefisso giro-). Secondo questa nomenclatura, un ottaedro viene chiamato bipiramide quadrata, un cubottaedro viene detto girobicupola e un icosidodecaedro viene chiamato girobirotonda pentagonale.
• L'aggettivo elongato significa che è stato incollato un prisma alla base del solido richiamato o tra le basi dei solidi richiamati. Un rombicubottaedro diventa anche una ortobicupola quadrata elongata.
• L'aggettivo giroelongato viene usato quando è stato incollato un antiprisma alla base del solido in questione o tra le basi di due solidi in questione. Un icosaedro sarebbe una bipiramide pentagonale giroelongata.
• Aumentato significa che una piramide o una cupola è stata aggiunta a una faccia del solido in questione.
• Diminuito viene usato quando dal solido richiamato è stata rimossa una piramide o una cupola.
• Girato esprime il fatto che una cupola posta sul solido in questione è stata ruotata in modo che vengano a coincidere coppie di spigoli prima distinti, come per la differenza tra ortobicupole e girobicupole.

Nomi e numeri di Johnson

I nomi e i numeri di Johnson per i solidi in esame sono i seguenti.

Piramidi, cupole e rotonda
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
1	Piramide quadrata		Piramide	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C4v
2	Piramide pentagonale		Piramide	6	10	6	5	0	1	0	0	0	C5v
3	Cupola triangolare		Cupola	9	15	8	4	3	0	1	0	0	C3v
4	Cupola quadrata		Cupola	12	20	10	4	5	0	0	1	0	C4v
5	Cupola pentagonale		Cupola	15	25	12	5	5	1	0	0	1	C5v
6	Rotonda pentagonale		Rotonda	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C5v
Piramidi modificate
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
7	Piramide triangolare elongata		Piramide elongata	7	12	7	4	3	0	0	0	0	C3v
8	Piramide quadrata elongata		Piramide elongata	9	16	9	4	5	0	0	0	0	C4v
9	Piramide pentagonale elongata		Piramide elongata	11	20	11	5	5	1	0	0	0	C5v
10	Piramide quadrata giroelongata		Piramide giroelongata	9	20	13	12	1	0	0	0	0	C4v
11	Piramide pentagonale giroelongata		Piramide giroelongata	11	25	16	15	0	1	0	0	0	C5v
12	Dipiramide triangolare		Dipiramide	5	9	6	6	0	0	0	0	0	D3h
13	Dipiramide pentagonale		Dipiramide	7	15	10	10	0	0	0	0	0	D5h
14	Bipiramide triangolare elongata		Bipiramide elongata	8	15	9	6	3	0	0	0	0	D3h
15	Bipiramide quadrata elongata		Bipiramide elongata	10	20	12	8	4	0	0	0	0	D4h
16	Bipiramide pentagonale elongata		Bipiramide elongata	12	25	15	10	5	0	0	0	0	D5h
17	Bipiramide quadrata giroelongata		Bipiramide giroelongata	10	24	16	16	0	0	0	0	0	D4d
Cupole e rotonde modificate
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
18	Cupola triangolare elongata		Cupola elongata	15	27	14	4	9	0	1	0	0	C3v
19	Cupola quadrata elongata		Cupola elongata	20	36	18	4	13	0	0	1	0	C4v
20	Cupola pentagonale elongata		Cupola elongata	25	45	22	5	15	1	0	0	1	C5v
21	Rotonda pentagonale elongata		Rotonda elongata	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C5v
22	Cupola triangolare giroelongata		Cupola giroelongata	15	33	20	16	3	0	1	0	0	C3v
23	Cupola quadrata giroelongata		Cupola giroelongata	20	44	26	20	5	0	0	1	0	C4v
24	Cupola pentagonale giroelongata		Cupola giroelongata	25	55	32	25	5	1	0	0	1	C5v
25	Rotonda pentagonale giroelongata		Rotonda giroelongata	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C5v
26	Girobifastigio		Bicupola	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D2d
27	Ortobicupola triangolare		Bicupola	12	24	14	8	6	0	0	0	0	D3h
28	Ortobicupola quadrata		Bicupola	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4h
29	Girobicupola quadrata		Bicupola	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4d
30	Ortobicupola pentagonale		Bicupola	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5h
31	Girobicupola pentagonale		Bicupola	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5d
32	Ortocupolarotonda pentagonale		Cupolarotonda	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
33	Girocupolarotonda pentagonale		Cupolarotonda	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
34	Ortobirotonda pentagonale		Birotonda	30	60	32	20	0	12	0	0	0	D5h
35	Ortobicupola triangolare elongata		Bicupola elongata	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3h
36	Girobicupola triangolare elongata		Bicupola elongata	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3d
37	Girobicupola quadrata elongata		Bicupola elongata	24	48	26	8	18	0	0	0	0	D4d
38	Ortobicupola pentagonale elongata		Bicupola elongata	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5h
39	Girobicupola pentagonale elongata		Bicupola elongata	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5d
40	Ortocupolarotonda pentagonale elongata		Cupolarotonda elongata	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
41	Girocupolarotonda pentagonale elongata		Cupolarotonda elongata	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
42	Ortobirotonda pentagonale elongata		Birotonda elongata	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5h
43	Girobirotonda pentagonale elongata		Birotonda elongata	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5d
44	Bicupola triangolare giroelongata		Bicupola giroelongata	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D3
45	Bicupola quadrata giroelongata		Bicupola giroelongata	24	56	34	24	10	0	0	0	0	D4
46	Bicupola pentagonale giroelongata		Bicupola giroelongata	30	70	42	30	10	2	0	0	0	D5
47	Cupolarotonda pentagonale giroelongata		Cupolarotonda giroelongata	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C5
48	Birotonda pentagonale giroelongata		Birotonda giroelongata	40	90	52	40	0	12	0	0	0	D5
Prismi aumentati
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
49	Prisma triangolare aumentato		Prisma aumentato	7	13	8	6	2	0	0	0	0	C2v
50	Prisma triangolare biaumentato		Prisma aumentato	8	17	11	10	1	0	0	0	0	C2v
51	Prisma triangolare triaumentato		Prisma aumentato	9	21	14	14	0	0	0	0	0	D3h
52	Prisma pentagonale aumentato		Prisma aumentato	11	19	10	4	4	2	0	0	0	C2v
53	Prisma pentagonale biaumentato		Prisma aumentato	12	23	13	8	3	2	0	0	0	C2v
54	Prisma esagonale aumentato		Prisma aumentato	13	22	11	4	5	0	2	0	0	C2v
55	Prisma esagonale parabiaumentato		Prisma aumentato	14	26	14	8	4	0	2	0	0	D2h
56	Prisma esagonale metabiaumentato		Prisma aumentato	14	26	14	8	4	0	2	0	0	C2v
57	Prisma esagonale triaumentato		Prisma aumentato	15	30	17	12	3	0	2	0	0	D3h
Solidi platonici modificati
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
58	Dodecaedro aumentato		Dodecaedro aumentato	21	35	16	5	0	11	0	0	0	C5v
59	Dodecaedro parabiaumentato		Dodecaedro aumentato	22	40	20	10	0	10	0	0	0	D5d
60	Dodecaedro metabiaumentato		Dodecaedro aumentato	22	40	20	10	0	10	0	0	0	C2v
61	Dodecaedro triaumentato		Dodecaedro aumentato	23	45	24	15	0	9	0	0	0	C3v
62	Icosaedro metabidiminuito		Icosaedro diminuito	10	20	12	10	0	2	0	0	0	C2v
63	Icosaedro tridiminuito		Icosaedro diminuito	9	15	8	5	0	3	0	0	0	C3v
64	Icosaedro tridiminuito aumentato		-	10	18	10	7	0	3	0	0	0	C3v
Solidi di Archimede modificati
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
65	Tetraedro troncato aumentato		Tetraedro troncato aumentato	15	27	14	8	3	0	3	0	0	C3v
66	Cubo troncato aumentato		Cubo troncato aumentato	28	48	22	12	5	0	0	5	0	C4v
67	Cubo troncato biaumentato		Cubo troncato aumentato	32	60	30	16	10	0	0	4	0	D4h
68	Dodecaedro troncato aumentato		Dodecaedro troncato aumentato	65	105	42	25	5	1	0	0	11	C5v
69	Dodecaedro troncato parabiaumentato		Dodecaedro troncato aumentato	70	120	52	30	10	2	0	0	10	D5d
70	Dodecaedro troncato metabiaumentato		Dodecaedro troncato aumentato	70	120	52	30	10	2	0	0	10	C2v
71	Dodecaedro troncato triaumentato		Dodecaedro troncato aumentato	75	135	62	35	15	3	0	0	9	C3v
72	Rombicosidodecaedro girato		Rombicosidodecaedro girato	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C5v
73	Rombicosidodecaedro parabigirato		Rombicosidodecaedro girato	60	120	62	20	30	12	0	0	0	D5d
74	Rombicosidodecaedro metabigirato		Rombicosidodecaedro girato	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C2v
75	Rombicosidodecaedro trigirato		Rombicosidodecaedro girato	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C3v
76	Rombicosidodecaedro diminuito		Rombicosidodecaedro diminuito	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C5v
77	Rombicosidodecaedro paragirato diminuito		Rombicosidodecaedro diminuito girato	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C5v
78	Rombicosidodecaedro metagirato diminuito		Rombicosidodecaedro diminuito girato	55	105	52	15	25	11	0	0	1	Cs
79	Rombicosidodecaedro bigirato diminuito		Rombicosidodecaedro diminuito girato	55	105	52	15	25	11	0	0	1	Cs
80	Rombicosidodecaedro parabidiminuito		Rombicosidodecaedro diminuito	50	90	42	10	20	10	0	0	2	D5d
81	Rombicosidodecaedro metabidiminuito		Rombicosidodecaedro diminuito	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C2v
82	Rombicosidodecaedro bidiminuito girato		Rombicosidodecaedro diminuito girato	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C2v
83	Rombicosidodecaedro tridiminuito		Rombicosidodecaedro diminuito	45	75	32	5	15	9	0	0	3	C3v
Misti
Jn	Nome	Immagine	Tipo	V	E	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Simmetria
84	Disfenoide camuso		-	8	18	12	12	0	0	0	0	0	D2d
85	Antiprisma quadrato camuso		-	16	40	26	24	2	0	0	0	0	D4d
86	Sfenocorona		-	10	22	14	12	2	0	0	0	0	C2v
87	Sfenocorona aumentata		-	11	26	17	16	1	0	0	0	0	Cs
88	Sfenomegacorona		-	12	28	18	16	2	0	0	0	0	C2v
89	Ebesfenomegacorona		-	14	33	21	18	3	0	0	0	0	C2v
90	Disfenocingolo		-	16	38	24	20	4	0	0	0	0	D2d
91	Bilunabirotonda		-	14	26	14	8	2	4	0	0	0	D2h
92	Ebesfenorotonda triangolare		-	18	36	20	13	3	3	1	0	0	C3v

Bibliografia

• Norman Johnson (1966): Convex Solids with Regular Faces, Canadian Journal of Mathematics, 18, pp. 169–200. Contiene la enumerazione originale dei 92 solidi e la congettura che non ve ne siano altri.
• Victor A. Zalgaller (1969): Convex Polyhedra with Regular Faces Consultants Bureau, New York. Traduzione dal russo: originale nei Seminari di matematica dell'istituto V.A. Steklov. Contiene la prima dimostrazione dell'esistenza di solo 92 solidi di Johnson.

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul solido di Johnson

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Johnson Solid, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Modelli di poliedri di carta.
• (EN) Johnson Solids - Di George W. Hart.
• (EN) Johnson Polyhedra - Immagini dei 92 solidi